X --■■ -0 yi!.r» -p W/.r 8 y ' (X» i'-l) = 0 ^ i

J l » — p p — Il \ A1' IJ

Comme on peut supposer p > /i,XP~n devient infini avec X. Donc les deux intégrales (2) ont des valeurs finies pour s = 0, X = oo; il en est done de même de T{p).

Si n = 0, Y a une valeur finie; U est infinie, car

el / - croît indéfiniment lorsque i tend vers zéro.

Enfin, dans l'hypothèse n <^ 0, U est encore infinie. En effet, si n — />, on peut écrire

et la dernière intégrale est infinie pour z = 0.

La définition de 1 // » par l'intégrale (1) ne s'applique donc qu'aux valeurs positives de //.

120. Valeur de r(/i) pour n entier. - Kn intégrant par parties, on a

♦OO -OO fOO

| e *a;n UIûc= — .<•» V~x j + (« — 1) ocn-*e-xdx. 3

J o L Jo J o

Or, .v" ,e x s'annule pour a; = 0, el aussi pour .v - oo; car

et en prenant /> > n, on voit que .v"~V s peut devenir aussi petit qu'on veut lorsque .v croît indéfiniment. L'égalité •'! se

réduit doue a

,-oo «OO

e V" ' ûfo (« — 1 I I .rn "?(? -x dx, J o .' 0

ou n>) = !" — 1) *> — 1). (4)

On aura de moine

r(»— 1) == (n -2jr(n — 2Ï, V(n — "2) = (m — 3) I> -3), ...,

et l'on arrivera à

1"(1) = | e * <fo 1 . o

Oji en conclut la formule déjà connue 112, 31)