INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES

Cas de deux variables.

130. Condition d'intégrabilité. — La différentielle totale d'une fonction explicite u de deux variables indépendantes a*, y, est, par définition,

du . , du cm = — dx 4- , dy.

dx dy

Elle a donc la forme Mdx | Nrfy. Réciproquement, M el N

étant deux fonctions données de x et y, soit à trouver une fonction il de x et y dont Mefoc | Ndy soit la différentielle totale. En d'autres termes, il s'agit de trouver une fonction de x, y telle que l'on ait

du , du

Le problème n'est pas toujours possible, car des égalités (1) résulte

dM d-u ON d2u ày dxdy dx dydx

On en conclut la condition d'intégrabilité

dM dN

d// dx

Nous verrons que cette condition est suffisante.