Première méthode d'intégration. — Si M.dx \- Ndy est

la différentielle totale de u, on a

du __ du ^T ,

La fonction la plus générale qui satisfait à la première de ces égalités est

u = | Mdx + Y, (2)

l'intégration étant effectuée comme si y était une constante; la constante d'intégration peut donc être une fonction Y de y. Il faut déterminer Y par la condition que la dérivée partielle de u par rapport à y soit égale à X. Or, de la valeur (2) de u on tire

du à\Mdx dY

cy <ty <ty '

remplaçant - par X, on trouve successivement ày

dY à ) M dx

ày oy

Ç ( à ï M cfcp\

■ jy

C étant une constante proprement dite. La fond ion cherchée est donc

f f/ d\Udx\

Remarque. La valeur (3) de Y doit être fonction de y seul ; c'est ce qui a lieu si la condition d'intégrabilité est vérifiée. En

à fM dx

effet, pour que l'expression N -— soitindépendante de A',

sa dérivée par rapport à x doit être nulle; or, cette dérivée est

d | M dx

dN __ d~ J M ,ir âN d ~ dx àN àM

dx dy dx dx dy dx dy