Théorème. — Pour quune intégrale

1 = JabM^ + Nfl^

étendue à une ligne donnée AB (88), dépende uniquement du point de départ A et du point d'arrivée B, ez1 /io/i J/z chemin suivi, il faut et il suffit que iexpression Mdx -\- Ndy ,sozï zz/ze différentielle totale exacte.

La condition est nécessaire. En effet, si la valeur de I ne dépend pas de la courbe, mais seulement de ses extrémités A et B, elle est une l'onction F(a, b, x, y) des coordonnées a, b et x, y, des points A, B, de sorte que

) ^B Mdx -f- Nt/z/ = F(«, b, x, y).

Prenons sur le chemin d'intégration prolongé un arc infiniment petit BB', et soient x -f- dx, y -f- dy les coordonnées de B' ;

I éprouvera un accroissement <:/! qui a pour expression, d'une

OF dF

part Mrf.v 4- N(/y, d'autre part : dx - - — dy ; donc

i j L ôx dy J