DÉRIVÉES DES FONCTIONS COMPOSÉES

67. Dérivées partielles. — 1° Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables indépendantes, on peut en prendre la dérivée par rapport à l'une quelconque de ces variables, en considérant dans ces opérations toutes les autres comme des constantes, ('ne telle dérivée se nomme une dérivée partielle.

Les dérivées partielles de F(zr, v, w) sont représentées par

F|" DJ' du du

dF dF F'v, DTF, -,-, £i clv ov

dF d^ F'w, DWF, ~ , £ •

On se sert de préférence de la caractéristique d introduite par Jacobi.

Exemple.— z = xy + ?/x,

2° On appelle fonction composée une fonction de plusieurs fonctions. Par exemple, si zz, l>, zt> sont des fonctions de x, F(zz, v, w) est une fonction composée. Nous désignons par

y- ' -r-' 5 ' ou par F'u, Fv, F'WJ du Ov Oio L

les dérivées de F(h, v, w) par rapport à u, n, in prises comme si ces variables étaient indépendantes.

Si u seul variait avec .v, la dérivée de F(n, v, w) par rapport

vi • i j.' i ,. • àF du

a x serait, d après le principe des Jonctions de lonctions. : . . 1 à u dx

De niénie, si v seul variait avec x, la dérivée de F(h, v, w) serait

d¥ du . J . . , . , T -, . . . ,

— — » et ainsi de suite. Les dérivées de cette espèce sont encore du dx

appelées dérivées partielles, par opposition à la dérivée totale,

qui suppose que toutes les variables u, u, w varient avec .v. La

<IV dérivée totale est désignée par 7 •

68. Accroissement infiniment petit d'une fonction. — L'égalité

lun v . I- (x

équivaut à

: étant infiniment petit avec A.v.

Cette formule peut être étendue à une fonction de plusieurs variables, indépendantes ou non.

Soit, par exemple, la fonction

que nous supposons continue pour les valeurs considérées de u, v, if, de manière que l'accroissement Ay qui correspond aux accroissements Azz, An, liv tende vers zéro lorsque ces derniers eux-mêmes tendent vers zéro d'après une loi quelconque. Nous

aurons

A// V u Au, v -|- Al?, 10 -j Air) — F(w, r, ?tf),

ce que l'on peut écrire ainsi :

A// = F(w + Au, /• ! A/-, m: j- Au>) — F(w |- Au, v \ Ar, w) F(u -f- Au, v + Ar, m?)— F(« • Au, r, u>)

Posons

A, = F(^ -f- Au, y -\- Ar, w; -f- Au?) — F(« |- Au, v -f A», mj),

A., E(m ! A/'. /• ; Ar, w) — F(u r A/', r. m , A, = F(m -f Au, r, ic) — F(u, v, w) ;

alors

Ay = A1 + A„ + A3. (2)

Or, A., est l'accroissement de F(zz, y, ry* qui correspond a

l'accroissement Ay de la variable u, les deux autres variables ne changeant pas; on a donc en appliquant la formule (1) :

A3 = [F'u(w, r, rr) l z]\«,

où s est infiniment petit avec Au.

De même, A., est l'accroissement de F(n + Ay, y, u?) lorsque

la variable y prend l'accroissement Ay, les deux autres variables ne changeant pas; on peut, donc écrire

A2 = [F'v(« !-A/S ■>,«>) | Bl]At?,

s! étant infiniment petit avec Ay.

Mais si la dérivée F\di, u, w) est continue avec n,

F'v(u + Au,t7, M7)= F'y(u,t?, 10) + 11,

où i] tend vers zéro avec Ay ; en posant Sj -|- r< = '-', on a

On trouverait de la même manière

A, -*[F'*(ut-v,w) h«"]Aw,

la dérivée F'w étant supposée continue avec u et y, et e" désignant une quantité qui tend vers zéro en même temps (pie Ay, Ay, Am. L'égalité (2) prend ainsi la forme

% = (F'u + b)A« + (F'v + s')Ar + (F'w + s")Aw ; (3)

pour abréger nous avons écrit F au lieu de F(h, y, iy).

Telle est l'expression de Ay que nous nous proposions d'établir.