Dérivée d'une fonction composée. — Pour fixer les

idées, nous considérons la fonction composée

y = F(w, v, w), il, y, w étant des fonctions de x :

Si l'on donne à a* un accroissement infiniment petit Aa, les variables n, v, w, y prendront des accroissements correspondants A?/, Ay, Ay;, Ay. et l'on a (68)

\V - (F'u + 0A" h (F'v + e')At> + (F\V h b")Aw.

On tire do là :

Passons à la limite pour Atv == 0; A-*, lu, ±w, A y tendront vers zéro, mais leurs quotients par Aa* ont pour limites les dérivées f'{x), f'i(x), f!2(x) et la dérivée totale * ; comme les quantités e, s', e" tendent vers zéro, nous aurons

% = FW» + p'tA(«) + "'.AH. H)

Cette égalité peut prendre la forme

dy dy du dy dv dy dw dx du dx àv dx dw dx

Elle exprime que : la dérivée totale d'une fonction composée est égale à la somme de ses dérivées partielles, obtenues chacune en appliquant le principe des fonctions de fonctions.

Si l'on multiplie l'égalité (1) par dx, et qu'on se rappelle la définition de la différentielle (35), on obtient

dy = F'ndu + F\dv -f F'wdw;

par conséquent : La différentielle totale d'une fonction composée est égale à la somme de ses différentielles partielles par rapport aux différentes variables qui entrent dans la fonction.