Recherche d'une intégrale par le théorème de Taylor

— Considérons une équation différentielle d'ordre m, et pour plus de simplicité supposons-la mise sous la forme

On en déduit

V àx + dyJ ^ dij J ^ ^ dy^) J '

ou en remplaçant y(m) par la valeur (1)

De même

y(m+2 =f2(x,lj,t/',y\ ...,^m-1>),

Si l'on se donne les valeurs y0, y'0, y\, ..., y\™~ > de y, y', y", ...-., y<m~v> qui correspondent à une valeur donnée x = x0, les égalités précédentes déterminent les valeurs y'™\ yj)IB+1\ y'™+î),... des dérivées y'm\ y>+:\ y(m+2, . . pour x = x0.

Cela posé, la formule bien connue

F(œ0 + h) = F(œ0) + h¥'(x0) -h ~ P"K) + — si l'on pose 5C0 + h = x ou h = x — x0, et F(sc) = y, devient

Prenons pour y09 y'0, ..., yjm 1) des nombres arbitraires et calculons les valeurs correspondantes de y;™1, y[;nfl), ... au moyen de l'équation différentielle proposée et de ses dérivées succès-

sives. Si l'on substitue ces diverses valeurs, la formule (A) donnera une intégrale de cette équation; elle renferme m constantes arbitraires y0, y'0, ..., y>~l).

Nous avons supposé que l'équation proposée admette une intégrale développable en série par le théorème de Taylor. Nous ne nous arrêtons pas à examiner les conditions nécessaires pour que la série (A) représente une intégrale de cette équation.