Exemple. — Soit à intégrer

Cette équation donne

„ = (1 - x) {}/ -l)±Jj/ -xl = 2(1/ - x) J (\—xf (1 - Xj* '

u<» = 2 (1 ~ œ)2 {l/ ~2) + 2 il ~ ?) (1 - °Û 2-3(.y- ^ 7 (1— ^)4 (1— xf '

Remplaçant x par x0 et substituant les valeurs de y'0, y"0, dans la formule (A), on obtient

, / \ A i I/o — ÛGo\ (x — ^o)2(*/o — 0Cn)

y = y0 + («— .) (^1 + ^-ij + ri°^4°)ï-"'

OU

iX/ " ^n . ( w ' wnl (w 0/

1— x0 {l—x0)2 (l—x0):i Pour que le développement soit convergent, nous devons

choisir x0 de manière que l'on ait =— — < 1; alors, la série

entre crochets représente une progression géométrique décrois-

1 - A* saute dont la somme a pour limite .— - -; la valeur de y se ré-

duit à

y = x -f- — — t~^ = os 4-

C étant une constante arbitraire. Telle est l'intégrale cherchée.

144. Différentes espèces d'intégrales de l'équation du premier ordre. — En général, une relation de la forme f(x> Y> y') - ° représente autant d'équations différentielles qu'elle donne de valeurs de y'. Soit y' = ©(#, y) l'une de ces valeurs.

1° Nous appelons intégrale générale de y1 cp(#, y) une relation F(.v, y, C) = 0 entre x et y contenant une constante arbitraire C et telle, que si l'on élimine y et y' entre les équations

y' = <p(.*,y)> F(*,y,C) = 0, 2 + Jy' = 0,

l'égalité résultante soit vérifiée par tontes les valeurs de a- et C, e'est-à-dire se réduise à une identité.

"^° Nous appelons intégrale particulière de y' = v(x, y) une solution qui est comprise dans l'intégrale générale F(x, y, C)=0 et s'en déduit en attribuant à C une valeur particulière.

3° Une intégrale singulière de f(x, y, y') 0 est une équation 'l{\\ y) =0, sans constante arbitraire, non comprise dans l'intégrale générale et telle, que les valeurs de y et y' déduites de cette équation vérifient identiquement l'équation f(x, )',)"') = 0.

Exemple. — L'équation différentielle

y = vy' + \]l~+Y* (a)

a pour intégrale générale

y = Cx -f- Vr+~C^. {b)

Car l'équation (b) contient une constante arbitraire, et donne y' = C, mais en y remplaçant C par y' on obtient l'équation (a) ; celle-ci est donc une conséquence de (b).

Si l'on fait C = 0, 1, 2 ..., on obtient les intégrales particulières

y .— \t y = x -\- \/2, y = 2x -f- i/5, etc.

Une intégrale singulière est

En effet, on en tire

y = \]\—œ\ ij' = -

et ces valeurs étant portées dans l'équation (a), on obtient nue identité; mais l'équation (c) n'est pas comprise dans l'intégrale générale (b).

145. Interprétation géométrique. — Nous appelons élément d'une équation différentielle y' = -fi. y, y) un point quelconque M(x, y) du plan xOy et la droite m qui passe par M et a pour coefficient angulaire f(ac, y).

Faisons parcourir au point M une courbe quelconque A; en général, la droite associée m enveloppe une seconde courbe A différente de A. Mais si en chaque point de A la droite associée touche cette courbe, celle-ci devient une courbe intégrale de l'équation y' = ?(a% y); car les valeurs de y et y' déduites de l'équation de A vérifient l'équation différentielle y- = »(#, y).

Il existe une infinité de courbes intégrales. Eu effet, soient (A, a) un élément quelconque de l'équation y' = o (.v, y). Prenons sur a une longueur infiniment petite AB et construisons l'associée b de B ; prenons sur b une longueur infiniment petite BC et menons l'associée c de C ; et ainsi de suite. Xous formons ainsi un polygone ABCDE... jouissant de la propriété que chacun de ses sommets forme avec un côté adjacent un élément de l'équation différentielle. Lorsque les côtés de ce polygone tendent vers zéro, la ligne brisée ABCDE... tend, eu général, vers une courbe déterminée A, dont chaque point forme avec la tangente correspondante un élément de l'équation y' = v(x, y). A est donc une courbe intégrale. Si l'on déplace A sur une parallèle à Oy, on obtient d'autres courbes intégrales. L'équation de ces courbes renferme donc un paramètre variable qui est, si l'on veut, l'ordonnée y0 d'un point A dont l'abscisse x0 reste fixe.

Les courbes intégrales peuvent admettre une enveloppe qui touche chacune d'elles. Cette enveloppe aussi est une courbe intégrale, car chacun de ses points et la tangente correspondante forment un élément de l'équation différentielle ; elle correspond à une intégrale singulière.

Exercices et notes.