Vérifier que l'équation

y" — 4j/ -f Ay = (12a? + 8}e2x admet une intégrale de la forme

y = (ccx3 -j- bx'2)e2%-.

5. Equation différentielle des paraboles homofocales (de même foyer et de même axe).

En mettant l'origine au foyer, on trouve

yt = 2p(a> + z\, y*y'* + 2xyy'-y* = 0.

6. Equation différentielle 1° des cercles de même centre (a, b); 2° des cercles de même rayon 11.

7. Equation différentielle des coniques qui ont les mêmes sommets A, A'. Réponse : y\a2 — x2) -\- xy = 0.

Cette équation exprime que la sous-tangente — r — — ; d'où

une construction de la tangente.

S. Equation différentielle des coniques qui ont un système de diamètres conjugués diriges suivant les axes O.v, Oy.

Réponse : xyyu -|- xy'2 — yy' — 0.

(.>. Equation différentielle des coniques qui ont même sommet et même tangente en ce sommet.

Réponse : y- — 2xyy' -f- x\yy" \- y'2) = 0 ou (y - y'xf =■■ — x2yy".

Pour interpréter cette équation, on introduit le rayon de courbure

IX ; ! —f- ' , ce qui donne

{y-t/xY y\j\ +7* ou OT MN x2(l + y'*)~ R Mrf " R '

T étant le point de rencontre de la tangente au point MLv, y) avec l'axe Oy; X, celui de la normale avec O.v.

10. Equation différentielle des spirales logarithmiques de même pôle. L'équation en termes finis est r ^=- aeh<*, a et h étant deux constantes;

après élimination de ces constantes, on obtient pp — p'2 — 0.

11. Equation différentielle des cissoïdes de même axe de symétrie et

même point de rebroussement.

Equation en ternies finis : a — X — — •

Equation différentielle : 3x2y — 2x'3y' -f- V?' = 0.

12. Equation différentielle des hyperboles équilatères ayant pour centre

l'origine des coordonnées

(x2 -h y2)y" -yy" + ^'3 4- *\f -y =-- o.