Séparation des variables. — Si l'équation a la forme
F(x) dx -J- f(y) dy = 0.
on dit que les variables sont séparées. Elle a évidemment pour intégrale
JF{x)doo + jf(y)dy = C.
Considérons ensuite l'équation
F(x) F.^y) dx + fite) f\(y) dy=Q; (1)
on sépare les variables en divisant l'équation par Fl(y)f(x)1 ce qui conduit à l'intégrale cherchée
Toutefois, comme on a divisé par Fl(y)f(x)i une racine y =^b de Fx{y) = 0 ou une racine x = a de f(x) pourraient être des solutions de l'équation différentielle (1). En remplaçant 3* = b, le premier membre de (1) prend la forme
F(x)Fl(b)dx +f(xyi(b).0;
on en conclut que y = b vérifie l'équation proposée à moins que fi(b) ne soit infinie; par suite, y = b est généralement une solution singulière. De môme x = a est généralement une solution singulière. 148. Exemples. — 1° Intégrer l'équation
(1 — ?/2)x3 doc -f (1 -f- x~)y* dy = 0.
On sépare les variables en écrivant
or 11
dx -f- 9 dy = 0.
1 + xz ' 1 - Comme on a
l'intégrale générale est
Des solutions singulières sont 1 + #2 = 0, 1 — y2 = 0.
2° Trouver une courbe telle, que la tangente arrêtée à l'axe
des x az7 une longueur constante a.
La sous-tangente s'exprime par \, et aussi par y a2 — y-; éga-
dy
Ions ces valeurs et remplaçons y' par ' * - , nous aurons
dx = -*— — — dy.
Pour intégrer le second membre, posons y == a sin cp ; il vient
fcos2'f fl— sin2 ^ f ofo r .
\ — dv — a \ - —r- d'-o = a . — a \ sm o a<o
! sm œ ' J sm cp J sm ff J
a l tg o 'f ^ a cos ? "1" ^»
o étant la constante d'intégration.
Les équations paramétriques de la courbe sont donc
y = a sin <? , a1 = a / tg œ. H- a cos cp -j- b.
L'axe OY ayant une position arbitraire, on peul supposer b = 0.
3J Trouver une courbe telle, que ïaire comprise entre l'ordonnée MP, la tangente MT et la sous-tangente soit proportionnelle à une puissance donnée de l'abscisse (fig. 31).
On doit avoir MP.PT - kxm, k et m étant dos nombres
y donnés; comme PT = y cot MTP = — \, > l'équation différentielle de la courbe est
= — kxm, ou
y2 dx
Séparons les variables et intégrons :
= — kxm .
Fig. 32.
Si m = 1, l'intégrale cherchée est h
— Ix 4- £c, ou (cj?)y = ek.
4° Trouver une courbe AB te//e, gne /es volumes engendrés par le secteur OAM et par le triangle rectangle OPM tournant autour de Ox soient dans un rapport constant (fig. 3^). M est un point quelconque de la courbe, et A le point où la courbe coupe OY.
La condition du problème donne
vol CAMP volO~MP~ ";
donc, si x, y sont les coordonnées de M, on a
y- dx = - y~x.
Différentions les deux membres de cette équation ; il vient (107)
y-dx = (2yxdy -f- y2dx). (2)
Après suppression de la solution y = 0, on obtient
a\ . 2a . 3 — a dx dy
1 — - \ydx = ~xdy, ou
La courbe cherchée a pour équation
ly= 9— lx -f IC, ou y = Cx 2a • (3)
L'exposant de x dans cette équation est positif si 0 < a < 3 ; la courbe (3) passe alors par 0 et répond au problème. On peut
remarquer les hypothèses a= 1 (droite), a = „ ou \} (parabole).
Si a > 3 ou < 0, la courbe (3) est asymptotique cle l'axe de y;
elle ne répond plus au problème, car (îy2 dx est infinie. Il
convient de remarquer que l'équation (2) est aussi une conséquence de l'équation
fx 2
J ifdx + m = - y2x,
qui est plus générale que l'équation (1), de sorte que même la solution trouvée ci-dessus lorsque 0 < a < 3 a besoin d'être vérifiée sur l'équation (1).
149. Equations homogènes. — Première méthode. — Soit à intégrer l'équation
Mdx -f Ndy = 0,
où M et N sont des fonctions homogènes F(x, y), f(x, y) de même degré p, de sorte que
M = «ppfl,|), N - ** f(l ,*
Divisons l'équation proposée par x? et posons - = z ; en
remplaçant y par xz et dy par x dz + z dx, on obtient
F(l, z) dx -f- f(\ , z){œ dz + z dx) = 0, ou |F(1, *) + *f(l, s)] dx -f x /"(!, *)<fe — 0. (1)
On sépare les variables en divisant l'équation précédente par ar[F(l,;s) h zf\}, s)]» ce qui donne
^+ f{hz) -dz-0
L'intégrale cherchée est donc
y(z) désignant le second terme ; il reste à remplacer z par ^ •
150. Remarques. — I. Les courbes intégrales sont homothétiques par rapport à l'origine des coordonnées. En effet,
l'intégrale générale a la forme : x = C<|> f - } i ou en passant aux
coordonnées polaires : r eos 0 = C'i/(tg 0) ; par suite, dans deux courbes intégrales qui correspondent aux valeurs C et Cx de la constante d'intégration, les rayons vecteurs situés sur une môme droite passant par l'origine sont dans le rapport cons-
tant --r •
