Seconde méthode. — Pour intégrer l'équation homogène

¥{œ, y)dx -f- f(x, y) dy = 0,

posons x = r cos 6, y = r sin 0, ce qui revient à passer aux coordonnées polaires. Nous aurons

F(r cos 6, r sin 0) (cos 8 û?r — r sin 6 r/6) 4- f(r cos 0, r sin 6) (sin 0 r/r + r cos 8 rfô) = 0,

d'où, en divisant par r et en ordonnant,

|F(cos 8, sin 0) cos 0 -f /'(cos 6, sin 0) sin b]dr — [F(cos 0, sin 0) sin 0 — /-(cos 0, sin 0) cos 8]rc?8 = 0.

Séparant les variables, on obtient une équation de la forme

dv

lL ?(o)^o = o.

L'intégrale cherchée est donc

lr — j" <p(8)tf8 = IC, ou r = c/f^^°.

152. Exemples. — 1° Trouver une courbe (fig. 32) telle, qu'il existe un rapport donné entre le volume engendré par le secteur OAM tournant autour de Vaxe Ox, et le volume de la sphère qui a pour diamètre V abscisse de M.

La condition du problème s'exprime par l'équation

r.y2dx — - ny2x = - h~x^ . (1)

Divisant par 7i et différentiant, on obtient

6y2dx — Ayxdy — 2y2dx = 3kx2dx, (2)

ou (Ay2 — 3kx2)dx = Axydy.

Cette équation étant homogène, posons y = xz; ce qui donne (Ax2z2 — okx2)dx = Ax2z(xdz -f- zdx),

et, après simplification,

— 3kdx = 4xz dz, ou - — 4 z dz .

La courbe cherchée a donc pour équation

C — 3/dx == 2z2, ou 2y2 = x2(C — Skljc). (3)

La courbe passe par l'origine ; car xHx = 0 pour x — 0. L'équation (2) est plus générale que l'équation (1); car elle ne changerait pas si on ajoutait une constante au second nombre de (1). C'est pourquoi la solution (3) a besoin de vérification.

2° Trouver une courbe (fig. 31) telle, que la distance de l'orîgine à un point quelconque M de la courbe soit égale au segment de Vaxe des y compris entre l'origine et la tangente. . La tangente au point Mf.v, y) a pour équation

en faisant X = 0, on trouve OT' = y — y'x. L'équation du problème est donc

y — xy' = \ x2 -\-y2 ou ydx — xdy = dx\ x2 -\- y2 ,

le radical portant implicitement le double signe.

Comme elle est homogène, nous remplaçons y par xz ; il vient

xzdx — x(xdz -f- zdx) = xdx\ 1 -\- z2 ,

(Af& CttX/ y-y.