VT

En intégrant on obtient

l(z -f V 1 + s*) + to = K3 ,

ou x(z + VH-^2) = C ,

et en remplaçant z par - :

lfJrx2 = {C-y)2.

Les courbes intégrales sont des paraboles ayant le foyer pour origine et Oy pour axe de symétrie.

Xeuberg, An. inf.y II. i3

153. Equation linéaire du premier ordre. — On appelle ainsi tonte équation du premier ordre dans laquelle y et y1 entrent au premier degré sans que ces quantités soient multipliées entre elles. La forme générale d'une telle équation est donc yf-[-py=Q,

ou

dy + Pj/ dx = Q dx,

P et Q étant des fonctions de x seul ou des constantes.

Le cas de Q = 0 se traite immédiatement. Car l'équation

dy

dy -J- Py dx — 0 se ramène a - -f- P dx = 0; par suite

ly -h J P dx = IC , ou y = C<?-/p dx.

Pour traiter le cas général, nous nous servons de la méthode de la variation des constantes arbitraires, due à Lagrange. Ce procédé consiste à intégrer l'équation dans un cas particulier et à exprimer que la solution de ce cas convient à l'équation proposée, pourvu que la constante d'intégration soit remplacée par une fonction convenablement choisie.

D'après cela, l'intégrale y = Ce~fpdxt trouvée dans l'hypothèse de Q = 0, sera considérée oomme étant l'intégrale de l'équation générale, pourvu que C soit maintenant une certaine fonction de X. La différentiation de y — Ce/Pdx donne

dy = — CWpd* P dx -f- <?-/p dx dC, ou dy = — y P dx + é?-/Pdx dC.

Cette égalité devient identique à l'équation proposée, si l'on pose

Q dx = <?-/p dx dC, d'où dC = Qd'p dx d.r,

et C = J Qe/pdxrte-f C.

C étant une constante proprement dite. L'intégrale cherchée est donc

-/pdxrr /Pdx '

y = e e Q dx -f- C

où C est écrit pour C.

154. Application. — Trouver une courbe (fig. 33) telle, que si par le point Q où l'ordonnée MP rencontre la bissectrice de l'angle XOY on mène une parallèle à OX, le segment QT de

cette parallèle compris entre MP et la tangente ail nue longueur donnée. (Problème de de Beaune.)

On a : MQ = MP — QP = MP — OP = y — x, tg MTQ y'; donc l'équation du problème est MQ— QT tg T, ou y — x ay'. On peut l'écrire ainsi

dy — - dx = — ■ - dx ; a a

c'est une équation linéaire du premier ordre, dans laquelle

P = » Q = — - • En appliquant la formule trouvée ci-dessus

on obtient

J*dx

[-JÏ

dx

dx 4- C

/'ïg-. 55.

— I <? atfa? -j- C

L'intégration par parties donne