Equations réductibles à la forme homogène. — Une

équation non homogène peut quelquefois être rendue homogène par une substitution convenable.

Soit, par exemple, l'équation

(ax -f by -f c)dx -f- (a\x + b'y + c')rfy = 0 (*). (1)

(:!:j Nous excluons l'hypothèse b = a' qui rend le premier membre une différentielle exacte. Lorsque b~o, a' = o ou a = o, b' = o, les variables sont séparées ou peuvent l'être.

T. La substitution

œ «- X + «, V = Y + p donne

(aX + &Y H- aa 4- ôp 4- c)rfX + (a'X + J'Y + a'a -f J'p + c'jcftf == 0.

Pour avoir une équation homogène, nous posons

ax + &p + c = 0, a'a -f ft'p + c' = 0 ; (*)

ces égalités déterminent a et p pourvu que l'on ait afr' — a'6^0. L'équation à intégrer est maintenant

(aX 4- &Y)tfX 4- (a'X 4- 6'Y)rfY = 0.

En faisant Y" = XZ, d'où dY = Xe/Z -\- ZdX, on trouve

^x («4-yg ,7 n

X "^ a 4- (6 4- a^Z 4- ô'Z* Si fr' = 0, on a immédiatement

ou Xb[oX 4- (6 4- a')Y]a' = D,

Si Z/ ^ 0, on ramène le coefficient de dZ à l'une des formes Z — y Z — y Z — y

(Z — aj(Z — P) (Z — a)2 (Z — a)* 4- p<

etc.

et l'intégration s'achève facilement.

La méthode précédente est en défaut si ab' — a'b = 0 ou

— = — . On pose alors

— = — = &, aa? -f- fy/ = i?,

ce qui donne a'^c 4- b'y = kv, et l'équation (1) se ramène à (v 4- c)dx -f (A?? 4- c;;c?2/ = 0 ;

(*) La substitution choisie revient à transporter les axes coordonnés au point d'intersection des droites ax -\- by -f- c = 0, a'x -f- ô'j* |- c' = 0. Elle n'est pas applicable lorsque ces droites sont parallèles.

; . du — adx . .

en remplaçant dy par —j- on obtient

(b — ak)v -\- bc — ad

équation qu'on intègre aisément.

Si l'on avait

abc

l'équation proposée pourrait s'écrire sous la forme

(ax -\- by -\- c) (dx -\- kdy) = 0 ;

elle admettrait alors les deux solutions

a' ax -\- by -}- c =■■ 0, x -j y = C ,

dont la dernière est l'intégrale générale ; la première est une solution singulière à moins que l'on n'ait b = a'.

II. Pour intégrer l'équation (1), on peut adopter les variables

u ~ ax -\- by -\- c, v = a'x -j- b'y -\- c' .

Alors du = adx -\- bdy, dv = a'dx -f b'dy,

d'où, en supposant ab' — a'b --/^ 0,

b'du — bdv . — a'du -f- adv doc = — T1— - T7 i dy = ~r .-

On aura ainsi l'équation homogène

u(b'du — bdv) — v{a'du — adv) --— 0.