III. Considérons l'équation (1) sous la forme

dx dy

?nx -f- ny -f- p wtx + n'j/ -f- /)' Les rapports (2) étant désignés par ctt, on a aussi

di== ' adx + $dy (

(ma. 4- m'fî)a? 4" inct 4~ **¥)# =t" Pa + i^'P

Le numérateur de la fraction (3) sera la différentielle du dénominateur à un facteur h près, si l'on a

m* 4- m'? = h<x, m 4- n'$ — hp. v (4)

En éliminant a et 'l entre les égalités 1 on trouve m — li m'

= 0, on h2 — (m -f n')h +

Soient Al5 h2 les racines de cette équation , en les portant dans l'une des équations (4), on obtient les deux solutions

I ? = ^i — m î I I3 = ^2 ~ "l- La relation (3) donne successivement

ûft

arfa? -f- pdjç/

A(oa; -f $y) -\- px + p'$ P* ~\-p'P

en égalant les deux valeurs de £ qui correspondent à à = â1 et /* = 7j2, on trouve l'intégrale cherchée

mp — mp

— /[m'a? -f (Aj — m)y H ^-r-T -f y

où D représente une constante.

Si ma' — m'n = 0, une racine de (5) est nulle et l'autre est égale m -\- n' ; les valeurs correspondantes de dt sont

m'dx — mdy m'dx -J- ridy

pm' — i) m (m -\- n')(7n'x -j- n'y) -f- pin' -j- p'n*

En les égalant, puis intégrant les deux membres de l'équation ainsi obtenue, on aura l'intégrale cherchée :

mx — my