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p7ii' — p'm 77i -f- n' La méthode précédente est en défaut lorsque. hx = lu. 158. Equation de Boole. — Soit à intégrer l'équation
Xdx -f- Ydy -h Z(xdy — ydx) — 0,
où X, Y sont des fonctions homogènes de même degré p, Z une
fonction homogène de degré q.
y Introduisons l'inconnue auxiliaire z = — ; nous pourrons
écrire
X = a;PF(5r), Y = x^f(z), Z = a?«<p(^), xdy — ydx = #2d<r,
et l'équation proposée devient
F(z)dx -\- f[z) [ocdz + zdx) -f a?a-P+*o>(*)«& = 0,
ou
doc f(z)
dz + x ¥{^+zf{z)
on est donc conduit à une équation de Bernoulli (155 . 159. Equation de Jacobi. — Soit à intégrer l'équation
(ax 4- by 4- c)dy — (a!x -\- b'y -\- c')dx = (a"x-\- b"y -{- c") (xdy — ydx).
1° Posons x = X + a> y = Y + P, où X, Y sont de nouvelles variables et a, |3 des constantes indéterminées ; il vient
(M 4- m)c£Y — (N 4- «)^x = vp + P) (Xcfi? — Y rfX 4- «c?Y — ?dX),
après avoir posé
M == «X 4- bY, N = a'X 4- &'Y, P = a"X + &"Y,
m = an 4- 6,3 4- c, n = a'a 4- 6'p 4- c', p = «"a -f- b"p 4- c".
Cette nouvelle équation devient une équation de Boole, si a, 3 vérifient les égalités
m = 2p, n = Pjo,
car elle se réduira à
(M — aP — pX)dY — (N — 3P — pY)dX =-- P(XtfY — YdX).
Les inconnues a, 3, p résulteront du système
a'a 4-è'p 4- cf = jop,
L'élimination de a et 3 donne
L'équation (2) détermine p, et deux des équations (1) font connaître les valeurs de a et 3.
2> La substitution x =
Jacobi en celle-ci :
transforme l'équation de
(au -\- bv -f- cio) (todv — vdio) -\- (a' te -\- b'v -\- c'iv) [udw — wdv) -f (a"u + b"v -j- c"w) (vdu - udv) = 0.
Comme on a identiquement
du[todv — vdw) \- dv[udw — wdti) -\- dw(vdu — udv) = 0,
l'équation (3) est vérifiée, si zz, v, w satisfont aux égalités
da
dv
dw
au -f- bv -{- cio a'u -f- b'v -f- c"w a"n 4 ^"y + c"w Soit </7 la valeur des rapports (4); on peut écrire
ad u -|- Pû?v -|- ydw
cft =
(«a -f- o'P + a"tf » -f (6a -f //3 -f- 6"y)y -f- (ex + c',3 -f c"y)i
Le numérateur de la dernière équation est la différentielle du dénominateur à un facteur constant p près, si
alors
«x -)- #'p + a'rY = P*f ) ca -f- c'p -h c"y=jpy;
£(aw -|- pt1 -j- y?c;) -f- m P~
ip)
- désignant la constante d'intégration
Eliminons a,"p, y entre les égalités (5); nous aurons
Soient pn /)2, p3 les trois racines de (7), supposées inégales ; et soient (ax, pif y,), (a2,p2,yâ), (a„ p3, y,) des systèmes de valeurs correspondantes, déduites de deux des équations (5). L'équation (6) donnera
l{axu -}- Pji? 4- Yi«?) 4- W*j £(a2w 4- P8» -h Y2M?) + w*->
Pi P2
= ^rVf + P3?; "t- Y3?r) + »>3 .
en ajoutant ces trois rapports terme à terme après avoir multiplié les deux termes du premier par p2 — p3, ceux du second par p3 — pls ceux du troisième par p{ — p2, nous aurons
(Pt —IhWiU + iV 4- 7i"-") + (lh —Pi)h*2u + ?-2v + Vz™) 4- (Pi —pMhu 4- hv 4- Ys^*) = Œi
C étant une constante d'intégration. Telle est l'intégrale cherchée si l'on remplace w, u, v par 1, x% y.
La solution doit être modifiée lorsque k{ = k2 ou que
Exercices et notes.
