Si les fonctions M et N" vérifient la condition

ày dx

l'équation Mdx 4- Nrfy = 0 est intégrable immédiatement, et l'intégrale est de la forme u = C, u étant la fonction qui a pour différentielle Mdx 4 Ndj.

Lorsque la condition (1) n'est pas vérifiée, on peut toujours déterminer un facteur v par lequel il suffit de multiplier l'équation différentielle pour que le premier membre devienne une différentielle totale exacte. Par exemple, l'équation

y doc — xdy = 0

ne satisfait pas à la condition (1). Mais les expressions

1 / ; 7 \ l ! j 1 n pdx — xdy [ydx — xdi/), - [ydx — xdy', — - — —

sont des différentielles totales exactes; on en déduil que Pénuation proposée a pour intégrales

Ix — ly — C, - = C, arc tg - = C.

-'» --» — ,— = sont des facteurs intégrants ; ils conduisenl ;ï

xy y x2 -f- j'2

des intégrales qui ne sont pas essentiellement différentes.