Propositions sur le facteur intégrant
1° II existe au moins un facteur intégrant
En effet, l'équation différentielle /
Mdx + Ndy =* 0 (2)
admet une intégrale qui renferme une constante arbitraire C. Mettons cette intégrale sous la forme
it = C, (3)
u étant une fonction de .v et y qui ne renferme pas G. On tire, des équations (2) et (3j :
dy M dy u\
dx N dx it'y
Il en résulte que pour tout système de valeurs de x et y,
ï == "^TF ' OU- ~-Tr~~ == ~W
L'équation (4) doit être identique; car s'il en était autrement, ce ne serait qu'aux points de la courbe représentée par l'équa*
dy
tion (4) que les valeurs de y-% résultant de (2) ou de (3) seraient
égales.
Désignons par v chacun des rapports (4) ; nous aurons
u'x = Mi?, u!y = Nr.
Donc Mt> et ~Sv sont les dérivées partielles d'une même fonction u; autrement dit, Mvdx -j- Nue/y est la différentielle totale de u.
2° Il existe une infinité de facteurs intégrants.
En effet, l'équation (3) peut être remplacée par
©(u) = cp(Cj, ou ç(u) - C, (3')
C désignant une constante arbitraire; l'équation (4) se change alors en
Les quotient? (4') ayant pour valeur »»'(«), on voit qu'à la forme (3') de l'intégrale correspond le facteur intégrant V'f'(u).
3° Si le facteur intégrant v correspond a l'intégrale u = C, tout autre facteur intégrant V est de la forme vf(u).
En effet, si U = C est l'intégrale qui correspond au facteur intégrant V, on a à la fois
du — v{Mdx + Ndy), dU = V(Mda> + Nrfy) ;
il en résulte
dU = — du. (5)
Soit z? = F(x, y). Si on tire, de F(.y, ?/) = u, la valeur de y en en fonction de « et de x et qu'on la porte dans la valeur de U, U devient une fonction ©(m, x) de zz et x et Ton peut écrire
dU = --•- d«« + -• -oto. (6)
D'après l'équation (5), si u a une valeur constante, U conserve une valeur constante ; car on aura alors du = 0, et par consens quent dU = 0. On en conclut, en considérant l'équation (6) : ~=0;
donc o> est indépendant de x, et U est fonction de u seul; comme
' . , dU . , V , . % dU
il en est de même de -=— > le rapport » égal a ----- » est une cer-
du L l u du
taine fonction de u.
4° Si v et V sont deux facteurs intégrants, Vintégrale cher-
chée est — = C.
Car on vient de voir que — = f[u) ; mais l'intégrale n =f C
peut être remplacée par f{u) = /'(C), ou par — = C, C étant une
constante arbitraire.
5° Le facteur intégrant dépend généralement d'une équation aux dérivées partielles.
En effet, si y est un facteur intégrant, l'expression vÇMdx \ \dy: est une différentielle exacte; la condition d'intégrabilité
djvM) d(vN) dy dx
prend la forme
dx dy \ dy ùx J
Cette équation, qui doit servir à déterminer v, renferme les
,, . , .. ,. du du
dérivées partielles - > — •
dx dy
162. Détermination du facteur intégrant dans quelques cas particuliers.
1° Le facteur intégrant v est fonction de x seul. Comme
= 0, l'équation (7) se réduit à
1 dv 1 fcM dN\
v dx N \ dy dx J ' ^
Puisque le premier membre, par hypothèse, ne dépend que de x, il en doit être de même du second. Supposons donc
N V ày dx) ~~ * {œ' ; nous aurons
1 dv . . dv , . = vise), OU — — v(x)dx ;
v dx ' v '
t, v , r , . , f®(x)dx
d ou a? — | '£{x)dx, v =e
Par analogie, si la quantité , r - — r se réduit a une
fonction de y seul, il existe un facteur intégrant de la forme
r|(y)dy e
Appliquons les résultats précédents à l'équation
dy -j- Ldoc = 0.
La condition d'intégrabilité de v[dy -}- Lrf.v), si y est fonction de x seul, est
dv d\j 1 r/r t/L ,.
— - = v — » ou - - = ; (9
«# *ty r a# dy
donc 7 J ne dépend que de x. Soit . = P; nous aurons dy dy
dh = ¥dy, L = Pj/ — Q,
où la constante d'intégration Q peut être une fonction de x. L'équation proposée a donc la forme
<ty + (Py — Q)daj = 0; (10)
c'est donc une équation linéaire du premier ordre (153). L'équation (9) donne
1 dv fPJx = |J i) — ^
v dx si l'on multiplie (10) par v, on trouve
Le premier membre de cette équation étant la différentielle de ye , l'intégrale cherchée est
JPdï .- /Pdx
ye = | Qe dy -f- C ,
ce qui s'accorde avec la formule trouvée plus haut (153).
2° Le facteur intégrant est de la forme XY, X étant fonction de x seul, et Y fonction de y seul.
La condition d'intégrabilité de MXY dx -f- XXY dy est
OU
dy dx J dx dy
M. dN N dX M dY cty <:/# X dx Y <%
Le second membre de cette égalité est de la forme X-f (a?) — M^(y);
il en doit être de même du premier. Ainsi» si la quantité — -=-
pen/ se mettre sous la forme Xf(.v) — M<]7(y), /e facteur intégrant est de la forme XY, X et Y étant déterminés par les équations
1 rfX ,\ 1 rfY ,, .
d'où l'on déduit
X = /?Wdî, Y = J***.
3° Les variables peuvent être séparées.
Si l'équation à intégrer est
¥(x)¥l{y)dx | f(x)fl(y)dy 0,
on la ramène à
le facteur intégrant est doue
A«)Pi(y) 163. Equations différentielles homogènes.— I. Soit l'équation
Mûfo-fNtfy = 0, (11)
M et N étant des fonctions homogènes de degré /).
Si la condition d'intégrabilité immédiate est vérifiée, et si p est différent de — 1, l'intégrale cherchée est (138)
II. Si p ^= — 1 et - — = — > Ma* -j-Nyse réduit identiquement
à une constante a (138). Pour trouver l'intégrale, on peut employer la substitution y = xz (14-9), ou éliminer M entre l'identité M.x -|- *Ny = a et l'équation (11). Ce dernier procédé donne
a Ny
— — dx -\- ~Ndy === 0, ou a dx -\- lS(x dy — y dx) = 0.
N" étant une fonction homogène f(x, y) de degré — 1, on a
et par suite
a dx . /, y\ x dy — y dx
