Trouver le facteur intégrant de l'équation

ay dx -f- bx dy = xmyn (a' y dx -f- b'x dy).

Les équations

ay dx -\-bx dy = 0, xmyn(a'y dx -f- b'x dy) = 0 , ont pour intégrales

œiy\> const, a?a'?/b' — const ; leurs facteurs intégrants sont donc

xy

*(*•*> am-H1v^HtKyb')-

On fait coïncider ces facteurs en prenant pour rf et 'l des puissances de #aj/b, #a'z/b' telles, que

— rœ^yby = — l/^yAs .

a'w — &'m a« — bm

par conséquent r ■— — =-: rr- > 5= ,. —77*

ab' — a 0 au — ab

Le cas de ab' — a'b = 0 se traite directement. 5. Intégrer

x2y2(dx — bdy) -f- a (y o?a; — a? dy) = 0.

/ 'dx di/\

On écrit xy(dx — bdy) + « ( — ) = 0,

xy d{x — by) -\~ adl = 0,

et l'on introduit les nouvelles variables

x — by = u. - = v.

Les valeurs de x et y en fonction de u et o sont

X = ? y = —r> «'où xy = . — j

l'équation proposée prendra la forme

ci?w -j- a — = 0,

et pourra s'intégrer par séparation des variables. G Trouver le facteur d'intégrabilité de

(1 — x2y)dx -\- x2{y — x)dy = 0.

Solution : —-; •