CCX CIX (XX

Leurs intégrales étant

y=.«rB'-fCj y = a2^ + c> • ••> y = am^ + c, (i)

= — bx.

l'intégrale complète de ¥(p) = 0 est

(y — a.oc - C)(y — *.zoc — C)... (y - a.n# — 0) =0. (2)

Les solutions (1) ayant la forme y = a.x -\- C, où a est une racine de F(a) = 0, l'intégrale (2) peut être remplacée par

167. Intégration par différentiation.— Pour intégrer l'équation

on considère souvent sa dérivée

Toute solution de (3) vérifie l'équation (4) ; mais la réciproque n'est pas vraie, l'équation (4) étant équivalente à F(x, y, p) = H, où H est une constante quelconque. Par suite, une intégrale déduite uniquement de l'équation (4) a besoin d'une vérification. Il n'en est plus ainsi d'une intégrale déduite d'une combinaison de (3) et (4).

Voici maintenant l'usage qu'on peut faire de l'équation (4).

1° Si le premier membre de (4) est décomposable en plusieurs facteurs et que l'un des facteurs ait la forme y(x} y, p), on obtient une solution de (3) en éliminant p entre les équations

F(pc, y, p) = 0, ©(a?, y, p) = 0.

L'intégrale ainsi obtenue n'a pas besoin de vérification ; c'est une solution singulière ou particulière, car elle ne renferme pas de constante arbitraire.

Si l'un des facteurs a la forme ©( x, y, p, -~ ] et qu'on sache

trouver une intégrale première (*) de olx,y,p,~~) = 0, on élimine p entre cette intégrale et l'équation F (se, y, p) = 0.

(*) L'équation cp f œ, y, p, — j = 0 est du second ordre. Une intégrale première est une équation du premier ordre, b(oc, y, p, c) = 0, ayant pour

f ClP\ A

conséquence o ( oc, y, p, I = (J.

2° Supposons qu'on parvienne à éliminer y entre les équations (3) et (4); soit <p f x, p, ~^- J = 0 le résultat, et soit

<J> (#, p, c) = 0 une intégrale de cette équation du premier ordre en x et p. Il suffit d'éliminer p entre les équations

3° Si l'on peut éliminer x entre (3) et (4), soit <p (y, /;, M = 0

rfy le résultat En remplaçant dx par — — > on a l'équation du premier ordre en y et p :

f pdp\

désignons par ^ (y, p, c) = 0 son intégrale. Une intégrale de (3) résulte de l'élimination de p entre les équations

F{x,ij,p) = 0, <Ky,p,C)=0.

4° Il convient quelquefois de combiner les équations (3) et (4) en vue d'éliminer un paramètre ou certains termes. Nous verrons un exemple de ce cas dans l'intégration de l'équation de Monge (179).