Equations du premier degré par rapport à x ou y

La méthode indiquée aux 2° et 3° du paragraphe précédent s'applique aux équations résolues par rapport à x ou y; car la différent] ation en fait disparaître x ou y.

1° Si l'équation proposée peut se mettre sous la forme

on a dx = f\p)dp ;

dy d'où, en remplaçant dx par — — :

dy = pf[p)dp, y = | pf\p)dp + C. (6)

L'élimination de /) entre (5) et (6) conduit à l'intégrale sous la forme ¥{x, y, C) = 0. On peut aussi s'en tenir aux formules (5) et (6) qui expriment x et y en fonction d'un paramètre p.

2° Soit l'équation

On en tire

dx ou ^ = f'ydy-\-f!pdp; (8)

si l'on sait trouver l'intégrale de (8) qui est du premier ordre en y et p, on éliminera/) entre cette intégrale et l'équation (7). 3° Pour intégrer l'équation

nous la différentions d'abord :

dy o u p dx = f{p) dp , d'où x= \ ^P->- dp -\- c. (10)

Les variables x et y sont ainsi exprimées en fonction d'un paramètre p. Si l'on élimine p entre (9) et (10), on aura l'intégrale cherchée sous la forme F(x, y, c) = 0.

4° Si l'équation proposée a la forme

y = r[v,p\ (il)

la diiïérentiation donne

dy ou pdx = f\dx -f- f'vdp, (12)

équation du premier ordre en x et p. Soit 'j(x,p, c) = 0 l'intégrale de (12) ; il reste à éliminer p entre cette intégrale et l'équation (11).

5"1 Considérons enfin une équation,

y = xf(p) + *(p),

qui est du premier degré par rapport à x et à y. On en tire

dy ou pdx = /•(#)<&? + [#/"(/>) + ?'(1#?P, (13)

ou dx + ; œcfy) = — ^77-^^ — dp ,

équation linéaire du premier ordre en x et p (153). L'intégrale cherchée est donc

Jf(p)-ppr r «p'(p) Jf(P)-p

. Jf{p)—P J

et il reste à éliminer /; entre (14) et l'équation proposée.

La formule (14) est illusoire lorsque f(p) = p ; ce cas esl traité ci-après.