Équation de Clairaut. — En différenciant l'équation

V =pa? + ?(#), (15)

appelée équation de Clairaut^ on trouve

dy ou p dx = p dx -f- oc dp -\- y\p)dp,

c'est-à-dire

dp[x foW] -0. (16)

On satisfait à l'équation (16) de deux manières : 1° En posant dp = 0, on obtient p = C ; substituons cette valeur dans l'équation (15) et nous aurons l'intégrale générale

Elle se déduit de l'équation proposée (15) en remplaçant p par une constante.

2° En posant

puis éliminant/) entre (15) et (18), on aura une intégrale singulière, car elle ne contient pas de constante arbitraire et n'est pas non plus comprise dans l'équation (17).

170. Remarques. — I. L'intégrale générale de l'équation de Clairaut représente des droites ; et la solution singulière, l'enveloppe des mômes droites. En effet, pour trouver cette enveloppe, on élimine C entre l'équation (17) et sa dérivée par rapport à C ; mais ces deux équations ne diffèrent de (15) et (18) que par le changement de C en p, et la solution singulière s'obtient par l'élimination de /) entre (15) et (18).

II L'équation de Clairaut est la seule qui s'intègre en remplaçant» par une constante. (*)

III. Toute équation du premier ordre, dont on connaît l'intégrale générale a = C, peut se ramener à une équation de Clairaut. (*)