Exemples. — 1° p3 — ~p2 = (y

Ecrivons y — co = p \ p

(*) Pour la démonstration des remarques II et III qui sont dues à M. Mansion, voir Bulletins de l'Académie de Belgique, année 1877.

Une équation de Clairaut exprime une propriété de la tangente qui est indépendante du point de contact car j — px est l'ordonnée à l'origine de cette droite, c'est pourquoi la tangente elle-même est une courbe intégrale.

pais dérivons ; il vient

ou

3 dx

dp dx

3{p — 1) dp

Cette équation se décompose en deux autres :

3dp

p = 1 , dx

Si l'on élimine p entre l'équation proposée et l'égalité p = 1,

on a une intégrale singulière

y — x La seconde solution donne

éliminant p entre cette égalité et. l'équation proposée, on a une

intégrale générale

tf + CV 3

2° Trouver une courbe telle, que le produit des distances de deux points fixes F, F' à une tangente quelconque soit égal à b2.

Nous prenons pour axes de coordonnées la droite FF' et la perpendiculaire au milieu de FF' ; soient (c, o), ( — c, o) les coordonnées des points F, F'. L'équation d'une tangente étant

les distances des points F, F' à cette droite sont

— y —p(c — x) ^ —y + p(c -[- ce) ^

± yi ~+p* ± VU- p*

et leur produit est

(y — px -j- pc) (y — px — pc)

Supposons F et F' situés du même côté de la tangente; alors le dénominateur a le signe + , et l'équation du problème est

ou ou

y — px ± \azp* -f- b2,

a2 désignant bz 4f c2- On a donc une équation de Clairaut admettant pour intégrale générale

y = Cx + \!a2C2 + 62,

et pour solution singulière l'enveloppe des droites représentées par l'intégrale générale. Ces droites sont les tangentes de la courbe cherchée, et celle-ci est la solution singulière de l'équation (20).

Si l'on rend l'équation (21) rationnelle, on trouve facilement, par la théorie des enveloppes (I, 297)

a~y% + b2xl = a2b2.

Applications géométriques.