f- mm

m et m' étant les coefficients angulaires de MU et MT. Or

tt-tX/ / y

les différentielles dx et dy se rapportant au point M mobile sur la trajectoire; par conséquent

to« f,dy + f\dx 8 f'ydx — f'xdij Uj

Si l'on élimine a entre cette égalité et l'équation /"(a*, y, a) = 0, on obtient une équation qui convient à tous les points de la trajectoire, ou V équation différentielle de cette courbe. L'intégration introduit une constante dont on détermine ordinairement la valeur en faisant passer la trajectoire par un point donné.

La trajectoire est dite orthogonale, lorsqu'elle coupe les courbes données à angle droit (*). Pour trouver son équation différentielle, on élimine a entre les équations

f\dx — fx dy = 0, f{oc, y, a) = 0.

Si les courbes variables sont définies par une équation de la forme f(x, y) = a, l'équation (1) est indépendante de a et par suite est l'équation différentielle de la trajectoire sous l'angle a.

En particulier, la trajectoire orthogonale est alors définie par

f'y dx — f\ dy = 0.

Autrement dit, si un système de courbes variables a pour éq nation différen t ielle

M dx + N dy = 0, V équation

M dy — N dx = 0

quon en déduit en changeant dx en dy et dy en — dx, repré-

(*) T. a trajectoire orthogonale des tangentes d'une courbe donnée est une développante de cette courbe.

sente un second système de courbes variables qui coupent à angle droit les premières.