Applications

1° Trouver la trajectoire sous l 'angle a des courbes définies pur Véquation y axP, a étant un paramètre variable.

On a l'équation de condition

m — m tgoc

dy , , pa«;P py. .. , .2

ou m = / > mr = pa5Cp"' = - - = -- > il en résulte que la tradx x x

jectoire a pour équation différentielle

x du — p y dx

x dx -j- p y dy v '

ou

(a? tg a -f- jo^) ^ 4- [p y tg a — <r) <:/?/ = 0.

Cette équation homogène s'intègre au moyen de la substitution y = xz. Voici deux cas particuliers remarquables.

1° Si p = 1, les lignes variables sont les droites menées par l'origine des coordonnées. L'équation (1) devient

(x dx -|- y dy) tg x — x dy — y dx ;

x dy — y dx x dx 4- V dy œ2

On trouve immédiatement

l\l x~ -\- y* . tg a = arc tg - -f- c ,

ou en passant aux coordonnées polaires,

(0+c) cot a

la trajectoire est donc une spirale logarithmique.

2° Si p = — 1, les lignes variables sont des hyperboles ayant pour asymptotes les axes coordonnés. L'équation (1) prend la forme

(x dx — y dy) tg a — [y dx -f- x dy) = 0 ;

elle a pour intégrale

(x2 — y2) tg a — 2xy = c.

Les trajectoires sont donc les hyperboles dont les asymptotes

sont celles des li3Tperboles données, tournées de l'angle - •

2° Trajectoire orthogonale des ellipses ayant un axe commun. Ces ellipses ont pour équation en termes finis

a étant constante et b variable ; leur équation différentielle est

(a2 — x2) dy -\- yx dx — - 0.

L'équation différentielle de la trajectoire orthogonale s'en déduit en changeant dy en dx et dx en — dy ; elle est donc

(a2 — x2) dx — yx dy = 0.

Séparons les variables :

oc

— x) dx — y dy =- 0,

et intégrons :

x2 -\- y2 a2lx ï^- = c.