Trajectoire en coordonnées polaires. — Cherchons

la trajectoire sous l'angle a des courbes représentées par

l'équation

a étant un paramètre variable. Les tangentes menées en un point de la trajectoire, à celle-ci et à la courbe correspondante du S3Tstème (1) font, avec le rayon vecteur de ce point, des angles V, V donnés par

tgv = ^ = ^, tgV' = -r//';

fo r1 dr h /*'e

les différentielles dr, c/ô se rapportent au point mobile sur la trajectoire. Comme Y — V = a, on a

On obtient l'équation différentielle de la trajectoire en éliminant le paramètre a entre les équations (1) et (2).

Si l'équation des courbes variables est de la forme /'(/% 0) --= a, l'équation différentielle de la trajectoire orthogonale est

175. Application. — Trouver la trajectoire orthogonale des limaçons de Pascal ayant même cercle directeur et même pôle. Ces limaçons ont pour équation

r = a cos 0 + £>

b étant variable. La trajectoire a pour équation différentielle

dr r2 . dr db

0, ou

o?8 asinO r2 asinô'

d'où l'équation en termes finis

= - J tg - 6 4- - - » ou d tff - 6 = e r.

176. Lignes de niveau d'une surface. — On appelle lignes de niveau d'une surface les sections de la surface par des plans horizontaux.

Si le plan xy est horizontal , une ligne de niveau de la surface représentée par f(x, y\ z) = 0 a pour équations

z = h, f(oc, y, h) = 0.

Les projections horizontales de ces lignes forment un système de courbes dont l'équation différentielle s'obtient en éliminant h entre les équations

f{pe, y, h) = 0, f\ dx + fy dy = 0.

Si la surface donnée a pour équation z — /'(.v, y), les lignes de niveau ont pour équation différentielle

f*dx + f'ydy = 0.