Lignes de plus grande pente d'une surface. — Une

ligne de plus grande pente d'une surface est une courbe tracée sur la surface et coupant à angle droit les lignes de niveau. Sa

projection horizontale est une trajectoire orthogonale des projections des lignes de n4veau.

Si la surface a pour équation z = f(x, y), les projections horizontales des lignes de niveau ont pour équation différentielle

f*dx+fydy = 0;

et les projections horizontales des lignes de plus grande pente,

f*dy — fydx = 0.

178. Application. — Les lignes de niveau d'un ellipsoïde vérifient l'équation

z étant le paramètre variable. Leur équation différentielle étant

oc dx y dy ,

on a pour une ligne de plus grande pente

x du y dx 7 „ du „ dx

.; — ' =-0, ou b2 ■ - = a-

On en déduit l'équation en termes finis

y^ = CX*2.

179. Lignes de courbure de l'ellipsoïde. — On sait que les normales en deux points infiniment voisins d'une ligne de courhure se rencontrent, pourvu que l'on néglige les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier. (I, 374.)

Soient (x, y, z), (x + A.v, ...) les coordonnées de deux points M, M' de la surface f\x, y, z) = 0. Les normales en ces points ont pour équations

fx fy r\

X — x — kx Y — y — ky Z — * — A

/"'x + V'i /"y + V'y A + AA

Exprimons que ces droites se rencontrent, ou que les équations {a) et (b) admettent un même système de valeurs de X, Y, Z.

d'où, par soustraction,

Aa? + AX./*x + (X + AX)Vx =0.

En négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, on trouve

dx-\-d\.f\ + \dfx = 0.

Par analogie

dy + tA./*y -f Xd/*y = 0, dz -f «A . A + ydf't - 0. Eliminons X et dl entre ces égalités ; il vient

dx A dfx dy f, dfy

dz f% df'z

Telle est l'équation différentielle qui détermine les lignes de courbure. Appliquons-la à l'ellipsoïde scalène

s aurons

dX — :

dx a"

dy »

dy ~b2

= 0, ou

dz --

Développons suivant les éléments de la seconde colonne ; il vient

{b2 — c^±x (c2 — a2) y (a* — 62) * e&t? dy dz

ou (62 — c2)xdydz -f- (c2 — a2)ydzdx + (#2 — b2)zdxdy = 0, (c)

et éliminons 0 et c/s au moyen des relations

x'2 y2 zdz x dx y dy

Xkubero — An. Inf., II.

A cet effet, nous multiplions l'équation (c) par -- et nous l'écrivons ainsi :

[(j« c2)xdy + (cî o«jy<fa?] ?Ç + {a2 — b2) ^ rfy «fo « 0.

s2 s dz Substituons maintenant les valeurs de -- et - ; il vient

xy dx2 — mxy dy2 — (x2 — my2 — n) dx dy = 0, (1)

ou m = » w = — i r- •

L'équation (1) a été intégrée pour la première fois par Monge ; la méthode consiste à éliminer n entre (1) et sa dérivée. Pour

plus de facilite, divisons par dx dy et posons - =& p ; il vient

* — mxyp - (x2 — my2 — n) = 0 ; (1')

puis, en dérivant,

^ h « — ^2 ^- - m [yp + flep8 -h ocy —) — 2x + 2myp = 0 ;

et en réduisant les termes semblables

— a? — .x?/ ( -- -j- wi ) -; — H ?^j/jo — »?.rp2 = U ;

ou (m»2 + 1) f"'7-*-'

Cette équation se décompose en deux autres : 1° mp2 -f 1 = 0.

Si l'on remplace dans (\) p par \/ » on obtient une solution singulière (réelle ou imaginaire), enveloppe des courbes représentées par l'intégrale générale.

p p~ dx

Divisant par xy et multipliant par pdx, on trouve

dx p dx dp x y p

remplaçant p dx par dy et intégrant, on aura

Ix—ly — Ip -f IC = 0, ou Cx = py. (2)

Eliminons /) entre (1) et (2) ; il vient

Donc les projections des lignes de courbure d'un ellipsoïde sur les plans principaux sont des coniques.

180. Pour intégrer l'équation (1), on peut la multiplier par 4xy, puis l'écrire ainsi

y2(2x dx)2 — mx2(2y dy)2 — [x2 — my~ — n) [x dx) (y dy) = 0 ;

ou, si l'on fait x2 = X, y2 = Y,

YdX2 — mXdY2 - (X — m Y — n)dX dY = 0.

dY En divisant par c?X~, posant -^ = P et résolvant ensuite par rapport à Y, on obtient