Y=PX- "P
?ftP -|- 1
ce qui est une équation de Ciairaut. L'intégrale cherchée est donc
y = cx — ctt-\ ' ou y = Caj — n- , •
mC 4-1 w?C H- 1
Les deux hyperboloïdes conduisent à des calculs analogues.
181. Remarques. — I. Considérons un ellipsoïde de révolution. Si a — b, l'équation (c) devient
dJdy dx^ \y x )
d'où les deux solutions z==Gt y — Cx, qui correspondent respectivement aux parallèles et aux méridiens de la surface (I, 377). L'équation (3) conduit aux mêmes conclusions. En effet, on a maintenant n — 0. m — — 1 ;
(loue si C - 1, on trouve y2 = Cx2, et si C = l, le terme connu ayant la forme indéterminée - . on obtient y- ~\- x~ = C.
IL Etudions maintenant le système des courbes (3) dans l'ellipsoïde scalène.
On a une ellipse ou une hyperbole suivant (pie C est négatif ou positif. L'équation (3) étant mise sous la forme
C2m c2 -f- Q(x2 — my- — n) — y2 = 0, | ()
on voit que par tout point donné i.v, y) du plan XOV il passe deux courbes du système, caractérisées par les deux racines Cx, (\ de i I . Ces racines sont réelles et inégales si la quantité
A = [x2 — my2 — ■?/)- 4- U)iju2y2 (5)
est positive, et leurs signes se déterminent aisément au moyen des relations
r,ct = — 2L. (•,+(•.-- *'±->X^m- (0)
mx2 mx~ '
Il y a lieu de distinguer deux cas principaux suivant le signe de m.
1° a c b\ alors m < 0, n > 0 L'équation (3j représente les projections des lignes de courbure sur le plan passant par l'axe majeur et par l'axe mineur de l'ellipsoïde. Si l'on pose m = — y-~, n ----- v'-', il vient
A = (x2 -f v2!/2 — v2)* — A\>2x2y2 = {x ~\- V-V 4- v) {oc -f- \xy — v) {x — \xy — v) (x — \xy ■ \- v),
«jl-a,- a-X"
Désignons les sommets de l'ellipsoïde par A, A', B, B', C, C, et prenons sur l'axe des x les distances OAj = OX\ = v, sur l'axe des y les distances ()1>! --- OB'! = v : [x. Les équations
représentent respectivement les droites A^B^ Bj Ay A^B'j, B'jAj, et l'équation x2-\- \}-'-y': — v- 0 représente l'ellipse qui a pour sommets les points Al9 Bj, A'j, 1>V Pour tout point extérieur au losange AjI^A^B^ la quantité A est négative et les valeurs correspondantes de C sont imaginaires. Pour tout point intérieur au même losange, on a A > 0, Q\C> > 0, Cf-f- Cs < 0; il en résulte que par un tel point il passe deux ellipses, projections de deux lignes de courbure de l'ellipsoïde à l'exception des parties parasites qui sont extérieures à l'ellipse principale ABA'B'. Toutes ces ellipses sont inscrites au losange, car leur enveloppe a pour équation A =-- 0; en particulier l'ellipse principale ABA'B' touche les côtés du losange aux ombilics réels de l'ellipsoïde.
Les axes 2a', 2b' de l'ellipse (3) résultent des égalités
en éliminant C on trouve
Par conséquent, les rectangles des axes des ellipses (3) sont inscrits à l'ellipse A^A'iB'!.
2° a \ b Z c; alors m > 0, a > 0. En écrivant [a2, /•' pour m, />, on a
A = (x~ — a-y- " V2)2 -f 4|i.2a?V2, dC,
L'équation (3) représente la projection dune ligne de courbure sur un plan principal passant par l'axe moyen de l'ellipsoïde; les valeurs de ('
qui correspondent à un môme point (a-, y) du plan XOV sont toujours de signes contraires, de sorte que l'une se rapporte à une hyperbole, l'autre à une ellipse (réelle ou imaginaire).
Dans le cas où C est positif, en désignant par 2a', 2b' les longueurs des axes de l'hyperbole correspondante, on a
d'où l'on déduit a'2 -J- b'-p.2 — v2 = 0; par conséquent, les sommets du rectangle des axes de eette hyperbole se trouvent sur l'ellipse A^jA'^V-
Si C est négatif, les axes 2a', 2b' de l'ellipse correspondante satisfont aux égalités
on en conclut d'abord que jette ellipse, pour être réelle, exige Cu.-'4-l > 0. Ensuite l'élimination de C donne
de sorte que les sommets des rectangles des axes de l'ellipse se trouvent sur l'hyperbole qui a pour axe réel A^'^ pour axe imaginaire 1>i1-m-
Les eoniques (3) n'ont plus d'enveloppe réelle. Les ellipses réelles du système sont entièrement intérieures à l'ellipse principale ABA'B' sans se rencontrer deux à deux; les hyperboles du système présentent des }>iirties parasites à l'extérieur de l'ellipse AIJA'B'.
III. L'équation (c) dépend uniquement des différences b2 — c2, c- —a2, a- — b~ des carrés des axes, de manière qu'elle convient aux lignes de courbure tracées sur les quadriques homofocales
D'après cela, on est conduit à examiner si la ligne d'intersection de l'ellipsoïde proposé avec un hyperboloïde homofocal représente par l'équation (8) n'est pas une ligne de courbure pour les deux surfaces. Effectivement, les équations des deux surfaces donnent, par soustraction et par différentiation,
Des deux dernières relations on conclut que les différentielles dx, dy, dz sont proportionnelles aux quantités
b2(cz — X)
ou aux
quantités
Si Ton remplace rf.v, dy, dz par les expressions (10) dans l'équation
dx
— 0, on trouve précisément l'équation (9).
182. Lignes de courbure des deux paraboloïdes. — Prenons l'équation de ces surfaces sous la forme
On trouve aisément
dx
dy
dy b
dz
d'où, en développant suivant les éléments de la deuxième colonne :
xdydz — ydx dz -f- [a — b)dx dy = 0.
ce dec y d\r Remplaçons dz par - 4- . » il vient
équation qui se ramène à la forme (1) (180).
dx dy — 0,
Exercices et notes.
f x sin *^x
