Intégrer

(a2?/2 — cV -f a2c2)p2 + 2a2xyp + (a2 — c2)x2 = 0). (*)

Eliminer a2j2 — c2x2 -j- a2c2 entre cette équation et sa dérivée ; le résultat se décompose en deux facteurs. On peut aussi poser y~=Y, x2— a2=X ; ce qui conduit à une équation homogène.

8. Trajectoire orthogonale des paraboles de même sommet et même axe. .{2x2 -\-y2 = c2).

9. Trajectoire orthogonale des paraboles de même axe et de même foyer.

Equation des paraboles variables : y2 = 2p ( x -f- f> ). ou

(V#2 -f y2 ± oc) dx ± ydy = 0.

Equation différentielle de la trajectoire :

(\Jx2 + y* ± x)dy if y dx = 0 ;

on la ramène à l'équation précédente en multipliant les deux membres par y x2 -\- y2 T x, etc.

10. Trajectoire orthogonale des cercles passant par deux points fixes de l'axe des y, ou ayant pour équation x2 -{-y2 — 2\x — a2 = 0.

Equation différentielle de la trajectoire :

2xy dx -f- (y% — x2 — a2) dy — 0.

En posant y'2 == Y, x2 -j- a- = X, on obtient une équation homogène.

11. Trajectoire sous l'angle a des cercles qui touchent OY en (). Solution : x2 + y% = 2C (x -f y tg a).

12. Trajectoire orthogonale des ellipses semblables ayant un sommet commun et même tangente en ce point.

Solution : y2 — (m2 — 2) x2 = C//1"2.

(*) Voir Mathesis, t. V, p. 255.

13. Trajectoire orthogonale des ciss Vides qui ont même point de rebrou ssement et même tangente en ce point

Solution : (x2 + y2,2 = C (y2 + 2a;2).

14. Trajectoire orthogonale des courbes définies par l'équation

(j.2 -|y2)2 = axy,

a étant un paramètre variable.

Réponse : y2 — x2 = C {x2 -j- y2}2.