Démontrer que l'intersection des deux paraboloïdes

a?2 y'2 rt x2 , y2 n

est une ligne de courbure de chacune de ces surfaces.

Intégrales singulières des équations du premier ordre.

183. Une intégrale singulière (144) d'une équation différentielle

est une solution qui n'est pas comprise dans l'intégrale générale

D'après ce qu'on a vu (145), quand les courbes représentées par l'intégrale générale (2) ont une enveloppe, cette enveloppe est, en général, une intégrale singulière de l'équation différentielle (1).

Dans ce cas, l'enveloppe se trouve parmi les courbes qui sont représentées par iéquation ©(x, y) = 0, obtenue en éliminant p entre Véquation différentielle proposée F(x, y, p) = 0, et l'équation dérivée par rapport à p :

En effet, considérons deux courbes intégrales infiniment voisines :

soient M(x, y) un point commun à ces deux lignes, et />, p, les coefficients angulaires des deux tangentes MT, MT, menées en M à ces lignes. Si en laissant C fixe on fait tendre h vers 0, le point M tend en général vers une position limite m, qui est un point de l'enveloppe; les deux tangentes MT, MT, ont pour limite la tangente mt à la courbe /'(.y, y, C) — 0. On en conclut qu'au point m(x, y) l'équation (1) admet une racine double pour p. Cette racine vérifie donc l'équation (3) (Alg. 182), et le lieu de m, c'est-à-dire l'enveloppe des courbes (3; satisfait à l'équation obtenue en éliminant/9 entre les équations (1) et (3).

L'équation a>(„Y, y) = 0 représente le lieu des points (a*, y) tels que l'équation (1) admette une racine double en p. Ce lieu, comme on vient de le voir, comprend l'enveloppe des courbes intégrales (2), quand elle existe. Mais il comprend aussi : 1° le lieu des points par lesquels passent deux courbes intégrales distinctes qui s'y touchent, lieu qu'on appelle lieu de contact; 2° le lieu des points singuliers, à tangentes confondues, des intégrales générales, par exemple un lieu de points de rebroussement.