ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'UN ORDRE QUELCONQUE

GÉNÉRALITÉS

185. Intégrale générale. — Considérons l'équation différentielle

F(*,y,y',yff,...,ytmO = 0I (1)

et soit

rttf.y.Cj,ctf.. ) = o (2)

son intégrale générale. On a vu que celle-ci renferme m constantes arbitraires (142). Cette propriété peut être établie directement.

En effet, on peut choisir arbitrairement les valeurs de y, y', ..., y(m-v> qu'on fait correspondre à une valeur donnée de x, et l'équation (1) détermine la valeur correspondante de y(m). Mais si l'on dérive (m — 1) fois de suite l'équation (2), on obtient m — 1 égalités de la forme

fi(*»y.yVCi,ct, ...) = (). «

fm-\{x,y,y\y", ^,y(ra-1),c1,c2, .. ) = 0; !

pour que les m relations (2) et (3) subsistent pour des valeurs

arbitraires de y, y\ y", ..., y(m 1) qu'on fait correspondre à une

valeur donnée de x, elles doivent renfermer m constantes dont

on puisse disposer.

Soit

fm(*,y,y\y",.-.,!(<m\G1,Ct,...)-0 (4)

la me dérivée de l'équation (2). Si l'on y remplace les constantes Clf C2, ... C,n par leurs valeurs tirées des équations (2) et (3), elle doit donner pour y(m' la même valeur que l'équation (1). Autrement dit, l'élimination de CM C2, . ., Cm entre les égalités (2), (3) et (4) doit conduire à l'équation (1).

En résumé, pour qu'une équation en termes finis soit V intégrale générale d'une équation différentielle de V ordre m, elle doit renfermer m constantes arbitraires sous une forme telle, que cette équation et ses (m — 1) premières dérivées puissent être résolues par rapport aux constantes, quelles que soient les valeurs de y, y', ... y(m-1) ; de plus, l'équation différentielle doit résulter de l'élimination des constantes entre l'équation en termes finis et ses m premières dérivées.

Remarque. — On appelle intégrales particulières de l'équation (1) des solutions qu'on obtient en attribuant des valeurs particulières aux constantes arbitraires C,, C2, ... , qui entrent dans l'intégrale générale (2). Il peut exister d'autres solutions qu'on appelle singulières.