Exemples. — 1° La valeur

y = de» + C2ebx (5)

peut être l'intégrale générale d'une équation différentielle du second ordre ; car, quelles que soient les valeurs de y et y' qu'on fait correspondre à une valeur donnée de x, les équations (5) et

y' = Qxae™ + C2be^

donnent pour Cx et C2 des valeurs finies et déterminées (on suppose a différent de b).

2° L'expression

y = Cl sin (x -\- ax) 4- C2 sin (x 4- a2) + C3 sin (a? -f- «3)»

bien qu'elle renferme trois constantes C\, C2, C3, ne peut être l'intégrale générale d'une équation différentielle du 3e ordre. En effet,

y' = Cj cos (x -j- «J -h C2 cos (a? + a2) -\- C3 cos (a? -J- a3), //" = — Cj sin (x -}- «j) — C2 sin (.ce 4- %) — C3 sin (x -\- a3) ;

comme y = — y" , on ne peut prendre arbitrairement les valeurs de y et y". D'ailleurs, les constantes peuvent être réduites à deux ; car

y = (Cx cos ax -j- C2 cos a2 4~ C3 cos a3) sin a? 4- (Ci sin «j -j- C2 sin a2 4-C3 sin a3) cos a; = M sin a? 4- Ncosa;,

et la valeur de 3* ne renferme que deux constantes arbitraires M et N.

187. Intégrales de divers ordres. — Nous avons vu (185) que si l'on élimine C19 C2, ... , Cm entre les m 4 1 équations

f=o, /; = o, f, = o, .., /in-o,

on doit retrouver l'équation F = 0.

Pour effectuer cette élimination, on pourrait éliminer Clt 02, ... , Cm— i entre les équations

f=0, /i = 0, ..., fm-i = 0, (6)

ce qui donne une équation de la forme

<p(«,y,yr, ..., y(»-u, Cm) = 0;

on éliminerait ensuite Cm entre l'équation ce — - 0 et sa dérivée.

L'équation o = 0 est de l'ordre m — 1 , renferme une constante arbitraire et a pour conséquence l'équation proposée E 0: c'est une intégrale première de F = 0.

On pourrait aussi éliminer entre les équations (6) toutes les constantes à l'exception de C, ou de C2 ou de C3, etc. ; les résultats sont des équations de l'ordre m et renfermant, une constante arbitraire C, ou C2 ou Ç3, etc. Tl résulte de là qu'une équation de l'ordre m a m intégrales premières.

Plus généralement,, on peut éliminer n constantes f/i < m) entre les n + 1 équations

ce qui conduit à une équation ty = 0 de l'ordre n, renfermant m — n constantes ; si l'on élimine les constantes entre l'équation 'l> = 0 et ses m — n premières dérivées, on retrouve l'équation donnée F = 0. L'équation >l = 0 est une intégrale [m — n,ième de F = 0. Le nombre de telles intégrales est égal au nombre des combinaisons de m lettres n à n.

188. Exemple. — L'équation de toutes les circonférences situées dans un même plan est

(a? — af + [y — bf = c2, (7)

a, b, c étant des constantes arbitraires. Ses trois premières dérivées sont

oo — a + (y — %' = 0, (S)

W + (/-%'" = 0. (io)

Pour avoir une relation indépendante de a, 6, c, il suffit d'éliminer y — b entre (9) et (10); on trouve

(i +yv— 3^y2 = o. (n)

Telle est l'équation différentielle de tous les cercles. Elle a pour intégrale générale l'équation (7).

On obtient des intégrales premières de (11) en déduisant, du système des équations (7), (8), (9), des équations qui renferment une seule constante. L'équation (9) est l'une des intégrales premières. En éliminant y — b entre (8) et (9), ou (x — a) et [y — b)

entre (7), (8) et (9), on trouve deux autres intégrales premières, savoir :

(oc — a) y" — (i + yzy = 0, (î-f- y'2)3 = cV2.

Si l'on considère les égalités (7) et (8), la dernière est une intégrale seconde de (11), et deux autres intégrales secondes qui s'obtiennent en éliminant soit x — a, soit y — b entre (7) et (8), sont

{y - bf (1 + y") - c\ (x - af(l + ^V) - c2-

dmy Intégration de l'équation — - - = f[œ),

LIJU