II. De l'équation xy -j- yx = 1, on tire

//./■y-1 -(- yHy xy*~l \- xylx

73. Cas de deux fonctions. — Considérons deux fonctions y et : de x définies par le système d'équations

F(x,y,z} = 0, ftx, y, z) = 0.

Si Ton remplaçait y et z par leurs valeurs en .v, on obtiendrait pour F(x, y, z) et /'ly, y, s) des expressions identiquement nulles; les dérivées totales de ces fonctions sont donc nulles et Von a (69) :

• aie (/.a; «5 e.>

On n'a plus qu'à résoudre ces deux équations par rapport aux

dy dz

inconnues -=- > -. ■ dx dx

74. Cas général. — Etant donné un système de n — 1 (''({nations à n variables, on peut considérer n — 1 de ces variables comme des fonctions de la dernière qui joue le rôle de variable indépendante.

Pour fixer les idées, soit le système

F(x, y, z, u) = 0, /ï,r, y. z, u) = 0, »(a?, //, ar, w) = 0,

où nous prenons x pour variable indépendante. En raisonnant comme ci-dessus on trouve

c&c dx dx

/" L /•' dM ! /" ^ l /' dU - n

, , - '('/ | - '/; , , ';" n 1 J dx dx dx

, . . . f/v (/c- du .. ( 'es équations déterminent les dérivées /',>,• (ni peut ^ dx dx dx

lui donner la forme homogène

F'xdx + F',rfy + F'.ck -f F'udu - 0, /V* + fydy + /V* h /V« ^ 0, «p'xrfi» + *ljdy + «p'.rfs + ip'„rfn = 0,

et prendre pour inconnues les différentielles dx, <ly, dz, du.

Ces inconnues (Alf>\, 77), prises avec des signes alternés, sont proportionnelles aux déterminants qui se déduisent du tableau

eu ôtant la colonne correspondante. L'un de ces déterminants est

dF dF dF

ôx dy ùz

df df df

dx fi'/ ()Z

d<o do <)■+>

dx dy ()-:■

il est formé avec l<»s dérivées des fonctions F, /'. » par l'apport aux variables x, y, z. Ou convient de le représenter par

<?(F, f cp) i

Avec cette notation, on peut écrire

dx : dy : dz : du

,-)('//, s:, wj * d(x, z, u) ' d(x, y, m) ' d{x,y, z)

La solution ainsi présentée a l'avantage de laisser la variable indépendante indéterminée.

Les déterminants de l'espèce (1) ont reçu le nom de déterminants fonctionnels.