CL ^ (?4X
Il reste à ajouter à cette valeur de 3* un polynôme du second degré à coefficients arbitraires
CyV ~\- C%X -\- C3.
190. Transformation de J f{x)dxm. Cette intégrale multiple peut s'exprimer àl'aide d'un certain nombre d'intégrales simples, et même se ramener à une seule intégrale simple.
En effet, si l'on applique la formule
f udv = uv — J vdu (a)
à J* dx \ f(x)dx, en prenant a = J f(x)dx, du = dx> on trouve
j" f{x)dx2 = x | f(x)dx — j* xf(o:)dx.
Multipliant cette égalité parcfoc et intégrant ensuite, on obtient
J f(x)dx3 = J x dx J f(x)dx — J dx j xf(x)dx.
Transformons les deux termes du second membre au moyen de la formule (a) en prenant pour u respectivement f f(x)dx et J xf(x)dx ; il vient
f(x)do)3 = — — [x2 \ f(x)dx — 2x\x f(x)dx -\- \ x2 f(x)dx)
On trouve de même
f(x)dxA = [x3 f f{x)dx — 3 x2 f ^ f(x)dx -f- 3 a? J x2 f(x) dx
— Jjc3 f(x)dx\.
D'où l'on conclut, par induction,
(f(x)dx™ = ï-5 — 7 —
^m 1 [fi00)^ — (m — l)xm~2(x f(x) dx
Pour établir la généralité de cette formule, multiplions les deux membres par dx et intégrons, etc. Nous verrons ainsi que si la formule est vraie pour une intégrale de l'ordre m, elle convient aussi à une intégrale de l'ordre m -f- 1 ; etc.
191. Désignons par f* f(x)dxn le résultat de n intégrations successives de f(x) entre les limites a et x. La formule (a) étant remplacée par
udv
J cl
uv
— vdu ,
on trouve en reprenant les calculs du paragraphe précédent : J * f(x)dx~ = J c?u? J /T(a?)û&» = x j /(^y.r — J xf(x)dx, (*)
I f(x)dx3 = I xdx J f(x)dx — J rfa? J xf(x)dx
jc2 J /*(#)fl&w — 2x J xf(x)dx -f J x2f{x)dx
en général
J f(x)dxm =
lJ f\x)dx — {m — \)xm~2\ xf{x)dx
On peut écrire
rx i f(œ)dxn = -. ÎT
Ja (m — 1)
(m-lj(m--2) 3 1.2
"-1 [ *f(z)dz — (m — l).vm-! f#jà
[xzzf(z)dz — ... ± f%»-yx*)«fal;
ce qui permet de faire rentrer sous le signe d'intégration les facteurs placés devant ce signe et donne
f>)^ra - i72:i-i)j> " --)-1a^
tfmy
L'intégrale générale de l'équation -p^ = /"(.x) prend ainsi la
forme
(m— 1)! Ja
Mm- 1
f(z)dz + c,xm-1 -\- c.2xm~2 + ... + cin
ession
(*) On pose u = j f(x)dx, dv = rfa ; le terme uv a pour expressi x ( /"(#)<&; == a? f{x)dx — ai f(x)dx = oc f(x)dx.
192. Formule de Taylor. Reste de Lagrange. On vient de trouver
Si l'on remplace f(x) par la dérivée f^(x)t on aura Fdœ \dx... r^m)(œ)dœ = ? — l-JV \{œ — z)*-lfW(z]dz. (1)
Ja J a J a \m 1 ) • J a
En effectuant successivement les intégrations indiquées dans le premier membre, on obtient
[*f^\x)dx = /^«-» (x) — /1"-»(a) ,
J dx j fW(x)dx=\ f.m-v(x)doc — f(m-V{n)\ dx
J tk J Q. w 'il «il
Pcte péte P fM(x)dx=f(m~3\x)- f(m-*\a)- (x—a)fm-\a)--"~y-^f^-\a),
et ainsi de suite. Finalement
JV») («)<fa- = a») - m -{»- «)/» - -^n|^ rw - -
puis, en posant # = a + /z, 2; = a + /* — U
h2 hm~l
f(cc + h) = f(d) + hf\a) + ^ f («) + ». + Û2^(^-Y/im-}W
1 rh
T 1.2... tw — l)Jo ' k ;
On retombe ainsi sur la formule de Taylor, avec un reste sous forme d'intégrale définie. Cette forme est due à Laplace.
Neuberg, An» inf., II, 16
[ntégration de quelques équations du second ordre.
193. Xous n'examinerons que les équations où l'une des variables x, y manque, c'est-à-dire celles de la forme
1° Si l'équation V(y", x) — 0 peut être mise sous la forme r" = f(x), l'intégrale cherchée est (189, 191)
y = \ dx J f(x)dx + clx -f- c2 , ou y = \l {x — z)f(z)dz + cxx + c,.
Si l'équation F (y", x) = 0 peut être résolue par rapport à .v,
soit
x = fiy"), d'où cfa; = f[y")dy".
Portant cette valeur de cfoc dans l'égalité (/j'r = y"dxi on trouve
<V = v"f{y")dy\ y' = $ y"f'(y"W + c.
Après avoir effectué l'intégration indiquée, on éliminera 3*f' entre l'égalité précédente et l'équation proposée F(y", ac) = 0; il restera à intégrer une équation en ,v et y'.
2° Considérons l'équation F(y'r, y', r) = 0, qui comprend comme cas particuliers les équations F(y'', y') = 0, F(y'', y) = 0. Faisons
r= i»0« ? " . ^? __ r^ ^ ? (IÏJ .
dx dy dx dy '
l'équation proposée devient
On est ainsi conduit à une équation du premier ordre en pet y. Si l'équation est de la forme
on a la transformée
équation du premier ordre en y et /;.
L'équation
s'intègre immédiatement; car elle se ramène à
$dp = f{y)dy,
d'où, successivement,
L'équation
donne
[f{y)dy
-f- C, dx =
dy
\/2$f(y)dy + 2C
après avoir effectué l'intégration indiquée on aune équation du premier ordre en y et p.
3° L'équation
peut prendre la forme
on a ainsi à intégrer nue équation de premier ordre en x et p. Supposons le résultat sous la forme p = ®(x, C) ; alors
y = /<?(*, Od^ + C,.
