Exemples. — 1° y" + .v'7'0/) = <p(y
^ , „ dp p dp .. .
Remplaçons y' par p, y1' par -Ve ou ~~- ; il vient
Posons encore p2 = s/ d'où 2p dp = dz; nous aurons dz + 2zf(i/)dy = 2<ï(y)dy9 équation linéaire du premier ordre en y et z (171). On en tire
/ dy\2 Il reste à remplacer z par f -p- ) et à intégrer une seconde
fois.
En observant que -=-*£ == 4- — *-y — » on trouve n «A'- t/.Y «y
p dp — n2y dy ; d'où, en désignant par ~ n2c2 la constante d'intégration,
^2 = W2(C2 y*^ ^ = n yC2 ___ y2 ,
îi doc = —r=^=, nx 4- c = arc sm - > \Jc2—y2 c
?/ = c sin (?we + c'), ?/ = A sin ?&» -j- B cos wa\
A et B désignant deux constantes arbitraires.
En opérant comme dans l'exemple précédent, on trouve
y IJ2 + c
Pour résoudre la dernière équation par rapport à y, multiplions-la par \/y2 + c — y ; nous aurons
c = cnx+cf (V yx:Fc — y), ou V#M-^— y = c e-nx-d ,
et en combinant par soustraction cette inégalité avec la précédente :
2y = en*+c' — ce-nx-c\ ou y = Aenx + Be~nx . Applications géométriques.
195. Un chien lancé à la nage se dirige constamment vers son maître qui marche uniformément sur la rive. Les vitesses
du chien et du niait re étant dans le rapport constant 1 : m, trouver V équation de la courbe décrite par le chien. (*)
Soient (fig. 35) (X A les positions initiales, et T, M deux
Fig. 35.
positions simultanées quelconques du maître et du chien ; les tangentes en A et M à la courbe cherchée passent respectivement par O et T.
Prenons pour origine le point O, pour axe des y la rive OT, pour axe des x la perpendiculaire en O sur OT. Les deux vitesses étant uniformes et dans le rapport 1 : m, on a
OT = m. arc AM.
Appelons x et y les coordonnées de M, a et b celles de A. La tangente MT ayant pour équation
Y— y =jp(X — œ)%
on trouve facilement OT ■= y — px ; AM ayant pour expression Jx Vl +P2 dx, l'équation du problème est
y — j)x = m ! \/I 4~ 1^ dx .
On en déduit par différentiation (107)
dy — pdx — xdp = — m \ 1 -{• pz dx ;
(*) Problème de Dubois-Aymé ; il est susceptible de diverses généralisations. La courbe décrite par le chien a été appelée courbe de poursuite.
d'où, à cause de dy - pdx,
dp dx
Une première intégration donne
/i/j-fV'l :kP*) = mlx+ le,
ou p -j- Vl +^'2 = co;m. (1)
Pour résoudre cette équation par rapport kp, il est commode de multiplier les deux membres par \/ 1 -f- pz — p ; on trouve :
\ll+p'-p = ^—'
et par combinaison avec l'équation précédente :
2p = cxm x~m. (2)
dy
Remplaçons p par \ et intégrons ; il vient
Ut\
Les constantes c, c' se déterminent par les conditions initiales de la question : la courbe passe par A et le coefficient angulaire de
la tangente en A est égal à -. On trouve ainsi au moyen de (3)
et (1) :
Lorsque m = 1, l'intégrale de (2) est
2// == - ex'2 Ix + c'.
196. Trouver une courbe dont le rayon de courbure soit égal à n fois la normale terminée à Vaxe des x.
La normale arrêtée à l'axe 0.v a pour expression hy\[ \ y ,
(1 -I- y2r ' le rayon de courbure, ± ;, -- . L'équation différentielle
de la courbe est donc
n désignant un nombre positif ou négatif. Si Ton écrit p pour y\
., dp j)di) , ,,, , . , , .
on a : y" = -.-- = , et 1 équation précédente devient J dx dy A L
d'où, en supprimant le facteur \/ 1 + l>~ et en séparant les variables,
eft/ npdp
y ' l 4- p2 ' On tire de là
ou ' |=(l+i>#, i+pi-g)0- (4)
La constante d'intégration c est égale à l'ordonnée maximum ou minimum de la courbe ; car si p = 0, on obtient y = c. L'équation (4) donne
dx = - r// (5)
Le second membre est une différentielle binôme qui peut s'intégrer pour toutes les valeurs entières de n (16) ; nous n'examinerons ici que les hypothèses de n — ± 1, n = -t 2.
1° n = — 1. L'équation (5) devient
on en déduit
« — c' --V^-.vs «■'■--' ■>■ i .'/- '•'•
La courbe cherchée est une circonférence quelconque ayant son centre sur l'axe des a*.
2° /i == 1 . L'équation (5) prend la forme
dx
cdy
\Jy* C2 '
d'où, en intégrant,
^^(y + VF^l + c'. (6)
Si l'on fait passer l'axe des y par le point le plus bas de la
courbe (*), on doit avoir x = 0 pour y = c ; ce qui exige
0 == clc -\- c'. L'équation (6), après substitution de la valeur c' — — clc, devient
œ = cly^'*y* C&, ou y -\- \V— c2
ce* .
Pour en tirer y, nous la multiplions par y — \y* — c2, ce qui donne
?/ — \yz — c2 = ce c ; des deux dernières équations on déduit par addition
y = -( ec+ c
La courbe cherchée est donc une chaînette. 3°.n = — 2. On a l'équation différentielle
[/ y dy*t
Cl OC ^^ . ' , ,
Vc— y
la substitution y = c sin2 „ donne
<&c = c sin2 - dB = - (1 — cos 6) d8.
Les coordonnées d'un point quelconque de la courbe sont donc
x = - (0 — sin 0) -f- c', y = c sin2 - >
(*) La courbe est convexe vers l'axe des x.
ou, si l'on fait c = 2a,
x — a(6 — sin 6) -{- c', // — a{\ — cos 8).
La courbe est doue une eveloïde.
4° n = 2. L'équation (5) se réduit à
fa- i/cdy ■
tttA/ — ■ — -. — — ,
\t/ — c d'où x — c' = 2 \/c(y — c), (a? — c')2 = 4c(y — c).
La courbe est une parabole a}rant pour directrice l'axe des x. (*)
Intégration de quelques équations d'un degré supérieur.
197. Nous ne considérons que les équations de l'une des formes
F(y('n),a7)=0,F(y(m),yra-l)j=0,F(^m),^ra-2>)=0,F(j/(m\y(m-1),y(ra-2)==0.
1° Le cas où l'équation F(y(m1, x) = 0 peut être résolue par rapport à yW a été traité ci-dessus (189). Si l'équation peut se mettre sous la forme
x = f(gW),
on a dx = f(y[m)) dyW ; ( 1)
substituant cette valeur de dx dans la relation
cfy(m-i) = y»dx, on obtient
dylm-]) = y{™)f\y[™)Cly{m\ y(m-l) = Jy(m)^(y(m))^(m) = /J(y(«n)) -f Cl. (2)
Portant les valeurs (1) et (2) de dx et y(,n--]) dans l'égalité on aura
C^Cn-2) [/J(y(m)) + C1l/"(y(m))^(m,î
d'où, en intégrant,
y(m-f) = £(y(m)) + Cf.
0 Au sujet des courbes traitées ici, voir Nouvelle Correspondance Mathématique, t. VI, pp. 158 et 224.
Eu continuant ainsi, on parvient à exprimer y en fonction de
V(in) et de m constantes arbitraires. Il reste à éliminer, de cette valeur de y, la dérivée de yW an moyen de l'équation x = f(yW}. 2° Si l'équation est de la forme
F(y(in). y(m-l)j = 0j (3)
on pose y(m~l) = z, ce qui donne
équation du premier ordre en z, x. Soit ©(3, tv) = 0 son intégrale ; c'est une équation différentielle qui rentre dans le premier cas.
Supposons que l'équation (3) puisse prendre l'une des formes y(«n) = /*(//m 1)), y(m-V == f(y{m)). (4)
Si dans la relation
on remplace y1") on y(m~]) par les valeurs (4), on trouve respectivement
(¥m~l) ; l'\y'm)) dx V^-V dx = fisr-W*'* {^
par conséquent, on est ramené au premier cas, pourvu qu'on
sache intégrer les seconds membres de (5). 3) Pour intégrer l'équation
F(yW, i/m~V, t/(™-2)) = 0, posons
,m n . qv ,, , dv . « o?w o?«
^(ra-l) = Wj y(m-2) = „ (Pou = ^ „(<!>) = = w;
ote cte cr
l'équation prend la forme
,, '' du \ ' . .,
Si Ton parvient a intégrer l'équation (6) du premier ordre en 11 et y, on est ramené au second cas.
L'équation l1 y " , y(m~2)) = 0 se traite de la même manière.
Abaissement de l'ordre d'une éqi \i:
198. Equations où l'une des variables .\\ y n'entre pas explicitement. — 1° Soit l'équation
F(#, yW, y(a+1\ ..., y' 0.
Si l'on pose y(") = z, elle se ramène à
\ ' *' dx
doc?
et n'est plus que de l'ordre p.
2° Considérons une équation qui ne renferme pas x :
F(y,y',y",.;'.,yW)=.0.
Les dérivées 3*", 3-'", ..., peuvent s'exprimer en fonction de 30 et des dérivées de y' par rapport à y. En effet,
rfv'
o(y' c?y dy , dy1 dx dy dx dy
y dx
dv
dy ) dy dx
dyy ,d?l dy) ' " dy*\
y' etc. ;
ces valeurs ramènent l'équation proposée à une équation en y et y', de l'ordre m — 1.
3° Si l'équation a la forme
on peut écrire, en posant ytn' = s,
/ cte o^ d?z\
V' dx' dx*' '"' dx*)^ '
cette équation rentre dans le cas précédent.
