Equations homogènes par rapport à y, y', y

Une telle équation peut se mettre sous la forme

C fudx -i

Posons — = 11, ce qui revient ti/y = u dx, y — e ; il vient

y' = uy, y" = uyl -f u'y = y(u~ + u'),

y" =y'(u2 + «.') -f //(2*m' + u') = y(w3 -|- 3ew , etc.

Ces égalités donnent

— = u, *— = iC~ -f u\ — --= zt3 + 3««6' + ?«", etc.

L'équation (1) se ramène donc à une équation d'ordre m — 1 en x et u.

200. Application. — Trouver une courbe dont le rayon de courbure soit proportionnel à la normale polaire. (Fig. 36.)

Fig. 36.

Soient Mw le rayon de courbure, MN la normale polaire en un point quelconque M de la courbe cherchée AMB. L'équation différentielle du problème est

r2 l 2r"2 rr" ~~ '

r' désignant la dérivée du rayon vecteur r par rapport à l'angle polaire 6.

On peut l'écrire ainsi :

(1 — 2m)r'2 + mrrX] + (1 — m)rz = 0. (1)

Comme elle est homogène par rapport à r, r', r", nous intro-

duisons l'inconnue auxiliaire — = u; alors

r] = ru, r" = r(u2 + w'),

et l'équation (lj devient

(1 — 2m)w2 -|- m(ir ~\- u') -j- 1 — m = 0,

ou u' == (14- ^ ).

721 ~ 1 , (lll .

Remplaçons par n, u par „ » nous aurons

ndO = — - » «.(0 — a) = arc tg w,

1 ~ \~ ic

noi désignant la constante d'intégration. Cette équation donne

u — tg «(8 — a) , d'où - = tg n (6 — a),

dr sin n(0 — a) r cos n(0 — a)

Par conséquent, la courbe cherchée a pour équation Ir = l cos n(Q — a) -f- le ,

ou

COSn tt(8 — a)

En choisissant convenablement l'axe polaire, on ramène l'équation précédente à la forme

r11 sin n6 = a.

Exercices et notes.