ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Préliminaires.

201. Définitions. — On appelle équation différentielle linéaire une équation différentielle dans laquelle la fonction inconnue

et ses dérivées n'entrent qu'an premier degré el ne sonl pas multipliées entre elles. La forme générale d'une équation différentielle linéaire de Tordre m est donc

. d]ni/ . , dm~h/ . . d<n-2?/

Ao ^ + A , ^-^ + A 2 f/iïn - + .. . -f Amy - X ,

A-0, Ap . ., Am, X désignant des constantes ou des fonctions de x.

Lorsque X se réduit à zéro, l'équation est dite homogène on sans second membre.

Les équations linéaires se présentent fréquemment en mécanique et en physique mathématique.

202. Théorème. — Un changement de variable indépendante transforme une équation linéaire en une autre équation linéaire.

Posons x = <p(0 et considérons maintenant y comme fonction de /. Nous aurons d'abord

dy dy dx 1 dy

dx di ' dt o'(/j dt '

Dérivons les deux membres de cette égalité par rapport à / ; il vient

d°~y dx f(t) dy 1 d2y

dxz di u'z(t) dt ' ©'(*) dt

,, , d-y ©"(*) dy , 1 dzy d ou = '-— — — 4- — ■

dy dzy <Py

Et ainsi de suite. Les dérivées .* > .- „ > 7 , > ••• s expriment

<7v doc2 a.v3

c?y d~\" (P)* donc linéairement par les dérivées ;, > 7J) > .;., > ■•••; ce qui

démontre le théorème.

203. Théorème. — Soient yu y2, ..., yp des solutions particulières d'une équation linéaire homogène

&oV{m) + AtfC*-" + ... + Am.y = 0. (1)

La formule

U == ci.V i + c2^2 + • • . H- cP.yP, (2)

oiz cx, c2, ..., Cp désignent des constantes arbitraires, donne aussi une intégrale de l'équation.

Nous représentons ici par y1} y2, ... des fonctions de x qui, substituées à la place de y, réduisent l'équation (1) à une identité. En effet, de la formule (2) on tire

ci3/i + c2?/2-r ••• + cpyp,

portant ces valeurs dans l'équation (1), on trouve

c,(A„y(r) + Al2/(1m-"+...+Am?/1)

+ c>{\Am) + A.^m" + ». + Amy2) + ... = 0.

Or, chacune des parenthèses est nulle parce que ylf y2,... sont des solutions particulières de (1) ; donc la valeur (2) de y satisfait à l'équation proposée.