Solution générale de l'équation linéaire homogène

Si l'on parvient à connaître m intégrales particulières y15 y2, ..., y m de l'équation (1), la formule

V = cly1 + c2y2 + ...'+ cmym (3)

donne la solution générale, pourvu que l'on puisse déterminer les constantes clt c2, ..., cm, lorsqu'à une valeur donnée de x, on fait correspondre des valeurs quelconques de y, y', y", ... , y(m-i) (180). Autrement dit, il faut que le système

V = ci2/i + c2j/2 + ... -f cmym,

y' ■-= cm'i + c2?/'2 + ... + cmy]

rai

donne pour Cj, c2, ..., cm des valeurs finies et déterminées quelles que soient les valeurs !de y, y', ..., yt™-1). Cette condition exige que le déterminant formé avec les coefficients des inconnues, savoir

y'rn

ne soit pas identiquement nul.

t/(m-lî

Ce déterminant est appelé le Wronskien des fonctions y,, vM ..., ym; on le représente par W(ylf y2, ... ym).

Le Wronskien s'annule lorsqu'il existe une relation linéaire entre quelques-unes des fonctions y l9 y2, .... Par exemple, si y3 = ccy1 -f py2, a et p étant des constantes, et qu'on remplace 3's> y'si ••• Par ari + ?y2, «y'i + py'2, ... , le Wronskien est identiquement nul ; c'est ce qu'on voit en retranchant de la troisième colonne les deux premières multipliées respectivement par a et p. Dans ce cas, la formule (3) n'est plus l'intégrale générale de l'équation (1). D'ailleurs, la valeur de y devient

V = (Ci 4 cz*)yl + (c2 4 csp)yz + c4?/4 + ... + cmym,

et le nombre des constantes arbitraires est réduit à m — 1.

Equations linéaires homogènes a coefficients constants.