Equation caractéristique. — Considérons l'équation

A0*/<m) 4 Aj/ro-D 4- A2t/('n-2) + ... + Aroy = 0, (1)

où A0, Al5 ... désignent des constantes.

On peut satisfaire à cette équation au moyen d'une valeur de la forme y = eax, a étant une constante convenablement choisie. En effet, si l'on substitue les valeurs

y = e^, y1 = aeax, y" = <x2e**, . . . , y(m) = am e*x,

le premier membre de (1) devient

e*x(A0a™ 4- A^m-i 4- ... + Am) ;

il suffit donc que a soit racine de l'équation

A0a™ 4- Aia™-i 4- ... 4 Am = 0. (2)

L'équation (2) est appelée Y équation caractéristique de (1) ; nous en désignons le premier membre par <p («)• On l'obtient en remplaçant dans (1) les dérivées de y par les puissances correspondantes de a et y lui-même par a0 ou 1.

Soient a, b, c, ... les racines de l'équation (2) ; des intégrales particulières de l'équation (1) sont

y = eax, y — <?bx, y = ec% , . . . . Neuberg, An. inf., IL *7

Remarque- — Tl importe de remarquer l'identité

à ^3 jl a ^"1(g") 4- 4- A é" = e".M «1

rfa?r

206. — Cas où les racines de l'équation caractéristique sont distinctes. — Soient a, b, ... I les racines de œ (a) ; nous les supposons d'abord inégales. Alors l'intégrale générale de (1) est (204)

y = A<?ax + Bebx + ... + Lelx, (4)

A, B, ... , L étant des constantes arbitraires.

Pm effet, désignons le second membre de (4) par SAeax ; on a

y =-- SAeax, y' = SAae", y" = SAa2eax, .. , y'm~^ = SA-a»-1*»

Le système de ces m égalités peut être résolu par rapport à A, B, ...,L ou, ce qui revient au même, par rapport à Aeax, Bebx, ... , Lelx; car le déterminant de ces inconnues, à savoir :

ain-l £m-l cm-l >§ /m-1

égal au produit (Algèbre, 43)

est différent de zéro.