Exemples. — 1° y" — n'y

L'équation caractéristique, a2 — h2 — 0, ayant pour racines 72 et — n. l'intégrale cherchée est

y = Aenx 4- Be"nx.

Cette équation a déjà été traitée par une autre méthode (194).

2* ym — 4y" 4- y' + 6y — 7 = 0.

L'équation n'est pas homogène ; mais en écrivant 6( y — ^ J,

on est conduit à poser y — - = Y, ce qui change l'équation en

Les racines de l'équation caractéristique,

a* — 4<x* + a -f 6 -■== 0, étant — 1, 2, 3, l'intégrale générale est

ou y = - + Ae~x + Be2x + Ce3*.

3° yIV — 5y'" + 6y" — 10 - 0.

Posons y"— -=Y, d'où y'"=Y', yIV== Y" ; l'équation devient

Y" — 5Y' + 6Y = 0 ; celle-ci a pour intégrale générale

Y = Ae?x + Be3x .

Par suite y" = | + Ae?x -j- Be3x ;

en intégrant deux fois de suite, on obtient

Jf-^ + Cfc+C' + i A** + £ Be3x ,

ou plus simplement

?/ = - a?2 -\-aoc-\-b-\- ceîx -}- °^x >

a, 6, c, d étant des constantes arbitraires

208. Cas des racines égales. — Si l'équation caractéristique a des racines égales, la formule

y = Ae?ax j Bé?bx | tt< | Lglx

ne représente plus l'intégrale générale, le nombre des constantes arbitraires étant inférieur à l'ordre de l'équation.

Dans ce cas, reprenons l'identité

et dérivons-en les deux membres par rapport à a ; il vient (*)

4?cp(a) -\- #œ'(a)

Or, si a est racine double de ©(a), on a à la fois o(a) = 0, cp'(a) == 0, et les identités (a) et (b) montrent que l'équation (1) admet les deux solutions

CZX

y = eaX, y = xé

De même, si on dérive encore l'identité (b) par rapport à a, on voit qu'à une racine triple a correspondent les intégrales

y Cax) ?y cce*x, y = œzerx.

Plus généralement, à une racine multiple d'ordre p correspondent les p intégrales particulières

y = e*x, y = xe1**, y = #?2<?ax, . .. , y — #P-1<?ax.

Si donc <»(a) admet une racine a d'ordre p, les autres racines b, c, ..., / étant simples, on aura l'intégrale générale en faisant la somme des m intégrales particulières connues multipliées par des constantes arbitraires (203). Cette intégrale est donc

y = c^ax + Cxxe™ -f ... 4- Cp^P-1^* -}- B<?bx + ... 4 Lelx

ou y = e"^ + C,t 4 ... 4- Cp^-1) 4 Bebx 4 ... 4 Le1* ;

elle rentre dans la formule

y = Aeax 4 BeV)X 4 ... 4 Le,x,

pourvu que l'on remplace A par un polynôme de degré /) — 1 à coefficients arbitraires.

S'il y avait une seconde racine multiple b d'ordre q, on remplacerait B par un polynôme de degré q — là coefficients arbitraires. Et ainsi de suite.