Exemples. — 1° y" — 4'y 4 4y

(") Pour dériver — — - — - par rapport à a, on peut dériver ea* d'abord par rapport à a, puis le résultat/) fois par rapport à x,

L'équation caractéristique a? — 4* | 4 = 0 admet la racine double a = 2 ; l'intégrale générale est donc

2° ylv — 3yw + 3y" — y' -5.

La substitution y] + 5 = Y donne

D'où y' = — 5 + (A + Bx -f Ca?*)c\

y = — 5a? -f D -f- j* ex (A + Bo? -f Cx*)dœ.

En intégrant par parties, on trouve

y ==■ — 5x -\- D + (a + 6a? -[- c#2)ex.

Les racines de l'équation caractéristique étant 1, 1, — 2, l'intégrale cherchée est

ij = (A + B#)ex + Ce-2}.

210. Cas des racines imaginaires. — Les coefficients A0, At, ..., Am de l'équation (1) étant supposés réels, les racines imaginaires de l'équation caractéristique ©(a) — 0 sont deux à deux conjuguées, et on peut modifier la forme de l'intégrale de manière à en faire disparaître les imaginaires.

Soient a = X 4- y- V — 1, 6 = X — a \/ — 1 deux racines imaginaires conjuguées de l'équation <p[a) = 0. L'intégrale générale comprendra une partie de la forme

Aea+,uV^+Bg(x-,v^ (4)

qu'on peut écrire ainsi :

Or (I, 390)

Xx [J.x\/-1 -;ax\/-1

e [Ae v -f B<? J.

jxx\/-l / .

el v = cos fAa? + y — 1 sin W

— (JLXV/— ï t / - .

e y = cos [ju» — y — 1 âm !X;r ï donc la partie considérée de l'intégrale revient à

<?Xx[(A 4 B) cos y.x 4- (A — B) V — 1 sin \xx] ;

en faisant A -f- B = M, (A — B) \/ — 1 = N", elle devient

e [M cos fjur -f N sin px]. (5)

Comme A et B désignaient deux constantes arbitraires, il en est de même de M et X.

2° Si X -j- a \ — 1 est une racine multiple d'ordre p, sa conjuguée X — ja V — 1 es* dQ même ordre, et à ces racines correspond, dans l'intégrale générale, une partie de la forme (4), A et B désignant maintenant des polynômes de degré p — là coefficients arbitraires. Cette partie se ramène à l'expression (5), M et N désignant des polynômes de degré p — 1 à coefficients arbitraires.