Exemples. — 1° y" 4- nHj
Les racines de » (a) étant ± n \I — 1, on a : y = M cos nx -f- N sin nx, M et N étant des constantes arbitraires (Comparez § 194-).
Les racines de ?(a) étant 1, — > on a
y = Aex -f- e * t M sin — ^ — h N cos — ^— ) •
3° ylY -f- n4y = 0.
L'équation caractéristique est a4 -f- nA = 0, ou (a2 -\- n2)- = 2n2a2, ou a2 -f h2 = ± nay2 ; ses racines sont donc —=. [± 1 ± y — 1).
On en conclut l'intégrale
nx
y = /MMcos -,- -f N sm -pr- -f e K M cos — — f- IVsm — V \/2 \/2 / V V2 \J2
40 yiv + 2y" + y = 0.
Deux racines de l'équation o(a) = 0 sont égales à \/ — 1, deux autres à — \/ — 1 ; l'intégrale générale est donc
y = (a -j- fat?) cos a; -\- (a* -f- &'#) sin a?.
Equations linéaires avec second membre.
212. Méthode de Lagrange. — Etant donnée une équation linéaire avec second membre, si ion connaît une intégrale générale de la même équation sans second membre, l'intégrale générale de la première équation dépend de quadratures.
Pour fixer les idées, soit
yw + Ay + A2y' + k,y = X (1)
l'équation donnée, et soit
y = ViVi + Ctyt + C*y, (2)
l'intégrale, supposée connue, de l'équation
y + ky + A,y 4- A3y = 0. (3)
Nous allons satisfaire à l'équation (1) au moyen de la formule (2) en regardant maintenant Gl, C2, C3 comme des fonctions inconnues de x. Comme nous avons trois inconnues et une seule condition, savoir que la valeur de y satisfasse à l'équation (1), nous pouvons introduire deux conditions arbitraires : nous supposerons que les valeurs des dérivées y', y" aient la même forme que dans le cas où Gu C2, C3 sont des constantes.
On a
y' - oy , + cy8 + c3y3 + „ § + y* g + y3 § .
Posons
*-dà+v*i£ +**-£-* (4'
alors
y'-C^ + Ô.y'. + Cgy'.. (5J
On aura de même
pourvu que l'on pose
, «G, , wC, , #L3 A /7^
'•Âr+Aâf + ^ÂT-0, (7)
On obtient ensuite
y" = Ciyï'.-C2y2--C3y3--X
