W , ^ W , « III

y" --= Uiî

en posant

Dans ces conditions l'équation (1) est vérifiée par la valeur y =■■ - ^Cxyl. En effet, si l'on substitue les valeurs (2), (5), (6), (8), cette équation devient

ZC^i" + X + A^tf? -f A.SCtf', + kjEC^ = X, ou SC^" + Aiy; + A2y'1 + Asyi) = 0.

Or, les polynômes qui multiplient Cl9 C2, C3 sont nuls, puisque yi,j"z,ys sont des solutions particulières de l'équation (3); donc, etc.

r, • • ,'.1*0, rfC2 dC3 -

On a ainsi, pour déterminer -=— *, -T-^, -=— = les trois equax t/.v dx dx x

tions (4), (7), (9). Elles sont du premier degré par rapport aux

inconnues. Le déterminant des coefficients des inconnues est le

Wronskien W (y„ y2, y3) ; comme il est différent de zéro (204),

les équations admettent une solution déterminée. Supposons

ClOC ClOC ClOC

où X,, X2, X3 sont des fonctions connues de x ; nous aurons

CL = ci -f- J Xjflfo?, C2 = c2 + f Xoda?, ... ,

c,, c2, c3 étant des constantes arbitraires. L'intégrale cherchée sera

y = sj/i(| ^\dx + ci) = ^i J xi^ -f- y 2 j* x2cte -Kv3 1 x3efo?

Elle se compose de deux parties : l'une, %cly1, est l'intégrale générale de l'équation (3) ; la seconde, Syx J X^dx, est une solution particulière de (1) qui correspond à cl — c2 = c3 ■= 0. Cette remarque résulte aussi du théorème suivant :

213. Théorème. — Si Von connaît une solution particulière u d'une équation linéaire avec second membre, et une solution z de la même équation sans second membre, u 4- z est encore une solution de V équation avec second membre.

Pour démontrer cette proposition, soit u une fonction de x qui, substituée à y, vérifie l'équation

yw + Ay + A2y' + kzy = X ;

soit z une fonction de x qui satisfait à l'équation

y + k,y" + A2y' + kBy = 0.

On a donc identiquement

d'où, en additionnant

par suite h + z est nne solution de l'équation avec second membre.