Application. — Considérons l'équation du second ordre

y" + Ay + A2j/ = X,

A1? A2 étant des constantes, et X une fonction de x.

Si a, 6 sont les racines de l'équation a2 -j- Ata -f- A.2 = 0, l'équation y"-f- A2y' -f- A2y = 0 admet la solution générale

où Cj, C2 sont des constantes.

Telle est aussi la solution de l'équation proposée, pourvu que Clt C2 soient des fonctions de x déterminées par les relations (212)

WU] , , d\j.-, uAj-i , , Cl\Jo ,

«a? a# dx dx

Ces égalités donnent

rfC1__Xg-" </C2 Xe~b* ofa? a — b dx b — a

L'intégrale cherchée est donc

Lorsque a = p + y/, b = p — y/, considérons l'intégrale de y" -f- Ajy' + A2y = 0 sous la forme

y = e [ (C1 cos yx + C2 sin ya?) ; en appliquant à celle-ci la méthode de Lagrange, on trouve

eosïa:-^+sin^^=0'

((3 cos ya? — T sin ya?) - — 4" ((3 sin y a? 4~ y cos y a?) -=-*■ = Xe

.La seconde égalité se réduit à

tfC, . dC2 X -Sx

— sm yx . -r-1 -f cos yx . — ^ = -- e •

dx dx y

On conclut de là

dt\ X . -3* tfC2 X -|3x

— r-1 = smya;.e > — = — cosya?.<? ;

dx y ax y

l'intégrale cherchée est donc

X<? ' sin ya?aa?]cosya?4-

Xe ^ cos ya? c?a; ) sin yx

Enfin, lorsque a = b, l'intégrale est de la forme

ij = C^ax + C2xe™, et Cl5 C2 sont déterminés par les équations

a *?i + ( i + ax) ^î = Xe-* •

cfo;

On trouve

^i *Xe— , ^C? = &— ;