Méthode par la solution particulière. — Considérons

une équation linéaire avec second membre

A02/(ra) + A^-2)+ ...'+ A,ny - X ; (l)

pour abréger nous désignons par F(y) le premier membre.

Soit u une intégrale de l'équation sans second membre, F(y)=0, et soit v une intégrale de l'équation complète, F(y)=X ; on a vu (213) que u -\- v est également une solution de l'équation complète. Si u est l'intégrale générale de F (y) — 0, u -+- v sera aussi l'intégrale générale de F (y) = X.

Supposons les coefficients A, A0, A13 ... , Am constants ; alors si l'on sait résoudre l'équation caractéristique

<p(a) = A0am + A^-l + . . . + Am = 0,

on connaît l'intégrale générale de F (y) = 0, et la question se réduit à obtenir une solution particulière v de l'équation F(y)=X.

Une solution particulière v se détermine facilement par la méthode des coefficients indéterminés dans les cas suivants :

1° Si X est un polynôme entier de degré p, on peut poser

v = a -J- $jc -j- ... 4- X#P,

a, p, ...,X étant des coefficients indéterminés. En effet, si on remplace y par a -\- $x -f- •■• + k*p dans l'équation F (y) = X, le premier membre devient un polynôme de degré p, que l'on peut identifier avec le polynôme X, ce qui donne p -f- 1 relations servant à calculer a, p, ..., X.

2° Si X est de la forme

e^(B0 + B1a>+...4-Bp*P), on fait

v = enx(a -f p# + ... + X#p),

a, p, ...,X étant des coefficients indéterminés, que l'on calcule comme dans le cas précédent.

En particulier, si X = B0eux, on prend v = aenx.

3° Soit

X = B0 sin qx -j- B l cos qx ;

(*) Les règles 1°, 2°, 3°, 4° se démontrent immédiatement. Vue démonstration des divers cas est donnée au § 217.

une solution particulière a la forme

v = a sin qx -{- p COS ##,

a et p étant des coefficients indéterminés. 4° Plus généralement, si

X = <?nx(B0 sin ^ + Bx cos gw),

où B0 et Bj sont des polynômes de degré p (l'un d'eux pourrait cependant être d'un degré inférieur), on pose

v — enx(a sin qx -\- p cos qx),

où a et p désignant des polynômes de degré p, à coefficients

indéterminés.

5° Les règles précédentes exigent une modification lorsque l'intégrale générale u de l'équation F(y) = 0 comprend des termes avec lesquels se confondraient des termes de l'expression v indiquée ci-dessus.

Ainsi, si l'on avait

u = <?nx(D0 4- D,a? + ... + Drxr) 4- ... X =-en*(B0 + B^-f ... + Bpa?P),

on poserait au lieu de

enx(a#r-H -f $xr+2 4- ... 4- Xa?r-H>+]),

v = enx(a 4- $x 4- ... -h Xa?P) ;

cette modification est suggérée par cette circonstance que D0, D„ ... étant des constantes arbitraires, les termes aellx, pjcenx, ... de u -f- y seraient déjà compris dans D0eax, D^e11*, .... De même, si l'on avait

u = <rx(M sin \kx 4- N cos \j.x) 4- ... X = ^X(P sin {xa? 4~ Q cos [*#)>

M et N étant des polynômes de degré r, P et Q, des polynômes de degré p, on poserait

v = e^x(<x sin px -\- p cos jxa?),

où « et p sont des polynômes à coefficients indéterminés, commençant par xT+] et finissant par dC'+PH-1.

6° Si X est la somme Xt |- X2 + ... de plusieurs termes X1? X2, ... des formes précédentes, on cherche des solutions particulières vlt v.2, ••• des équations

F(y) = X1, F(y) = Xf, ...,

et l'on prendra v = vl -\- v.2 -f- .... En effet, si l'on a

F(vl) = Xl, F(v2) = X2, ....

on voit facilement que

Ffa+vt+ ...) = X1+X2+....