Exemples
L'équation y" — 5y' + 6y = 0 a pour solution générale
y = Ae2x + Be3x.
Une solution particulière de l'équation proposée a la forme
y = ci*(a + $x) ; on en tire
y' = etx (4a [ p 4- 4^)? y" -= e4x (l6a | 8(3 | i^^
Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on obtient 16a -f 8(3 4- 16jto — 5 (4a -f- p -f- 4p^) + 6 (a + p*) = 2 + 3a? ; d'où les égalités de condition
par conséquent a = — -, p = -. L'intégrale cherchée est donc
y = Ae2x + Be3s 4- e^f — | 4- jL J .
L'équation sans second membre a pour intégrale générale
y = Ae2x 4- Be3x.
Une solution particulière de l'équation complète est (215, 5°) y = eB% (olx 4- l^2 4~ T^?) »
elle donne
if = esx [6a + 2-3 4. (9a 4- 12? 4- 6y)x 4- (9? 4- 18y)a?2 4- 9y^3j.
Portons ces valeurs dans l'équation proposée et identifions ensuite les deux membres de l'égalité ainsi obtenue ; nous aurons
d'Où cc=l, p = -, y = -.
L'intégrale cherchée est donc
y = A<?2X 4- <rx (B + x 4- \x* + i^3).
3° y'" — V — ?/ 4- 2y = 5 sin 2x.
L'équation sans second membre a pour intégrale
y = Ae2x + Bex -f Ce-X .
Une solution particulière de l'équation complète est (215, 3°)
y = a sin 2a? 4- P cos 2#, a et p étant deux nombres indéterminés. Comme
y' = 2a cos 2a? — 2p sin 2a?, ?/" = — 4a sin 2# — 4p cos 2a* , ?/'" = — 8a cos 2x 4- 83 sin 2x,
on trouve, en substituant ces valeurs dans l'équation proposée,
— 8a cos 2x 4- 8p sin 2x + 8(a sin 2x 4- ? cos 2a?) — 2(a cos 2a? — p sin 2a-) -|- 2(a sin 2x 4- P cos 2a*) = 5 sin 2a?.
Les coefficients de sin 2x et de cos 2x dans les deux membres de cette égalité doivent être respectivement égaux ; par conséquent
d'où a = p =j. L'intégrale cherchée est donc
y ^ a^2x j g6,x | Cc-x j (sin 2^ 4- cos 2#).
4° y" + y = cos a?.
Les racines de l'équation caractéristique sont ï=±\( — 1 ; l'équation y" -f- y = 0 a donc pour intégrale générale
y = A sin a? -f- B cos a?.
Une solution particulière de l'équation proposée est (215, 5°)
y = œ(y cos x -f- S sin a?) .
Substituons dans l'équation proposée les valeurs y = a?(y cos #4-8 sin x),
y' = y cos #4-o sin # 4~ # (— Y s^n x ~\~ ° cos ^) » y" = 2 (— y sin # 4~ o C(>s °°) + #(ï cos # + ° sin #) I nous aurons
2 ( — y sin # + ^ cos %) = cos ^> d'où y = 0, o = -. Par suite l'intégrale cherchée est
?/ = A sin x -f- B cos # 4- ^ sin #. 217. Lemme. — Si /'o/i pose
F(y) = A0*/m) 4- A,^»-" 4- ... 4- Amy, F^y) =-- mA^™-1) 4- (m — ÎJA^»-*) 4- ... + Am iy F2(y) = m(m — l)A0?/(m-2) 4- (m — l)(m — 2)A1y(m-3) 4- 2Am 2y,
Fm(y) = m(ra — 1)... 3.2.1 A0y, o/î a identiquement, en remplaçant y par yz,
En effet, la formule de Leibnitz (An. inf. I, 96) donne
yz =- xry (y*)' = *y'4- *V, (ys)"'= *y" -f 2*V + «V,
(y*)* = *y(«0 4- ^ ^y(m-l) 4- Ji^Zli) ^ym-î) 4. ... + «Hy,
Ajoutons ces égalités membre à membre après les avoir multipliées respectivement par Am, Am i, ..., A0 : le premier membre du résultat sera égal à F(yz), et le second membre
ordonné suivant z, z\ z", ... c» égal à zF(y) -f- -y F) (y) +
Corollaire. — Si A0, A15 ... , Am sont des constantes et qu'on désigne par F(a) le polynôme caractéristique A0am -J- A^m-i -|- . . . , par F'(a), F"(a), ... les polynômes dérivés de F(a), on a (206)
F(c*x) = e"F(a), F,(<?*x) = e*xF'(«), F2(e*x) = eaxF"(a), ... ; par suite, d'après la formule (a)
F(*e») = e»[*F(a) + y F'(a) -f ... + - FM(a)] .
218. Théorème. — Une équation linéaire à coefficients constants, de la forme
A0y(mi + À1y(m-D + ... + kmy = Penx,
oh P désigne un polynôme entier en x, admet toujours une solution de la forme zenx, où z représente une fonction entière de x convenablement choisie.
En effet, si l'on adopte les notations du § précédent et qu'on remplace y par 2?enx, l'équation proposée devient (217)
== Penx
c™\zF(n) + y P'(n) + ••• + - y F(m>(»-) il suffit donc de choisir 0 de manière qu'on ait
Supposons d'abord F(/î) ^ 0, et soit p le degré du polynôme P. Nous pourrons alors satisfaire à l'égalité précédente en posant
z = a -f Qco -f y^2 + ... + ta?P,
a, fi, ,.., y étant des coefficients indéterminés ; car nous aurons à identifier deux polynômes de même degré.
Supposons ensuite que n soit r -f- 1 fois racine de l'équation caractéristique F(a) = 0, de manière que l'on ait
l'intégrale générale de l'équation F(y) — 0 comprendra une partie de la forme (208)
<?nx(D0 + D^ -f- ... + DrTr).
L'égalité (p) se réduit à
ïAr-TVT F^>(n) + * ou F<'W(w) + ...+* P(m)(„) = p.
On peut y satisfaire en posant
z = «uf+* + pa^-H* + ... -h A#r+P+1 ;
car son premier membre deviendra un polynôme de degré p, à (p -\- 1) coefficients indéterminés, qu'on pourra identifier avec le polynôme P.
Remarque. — Le théorème précédent démontre les règles du § 215, même dans les cas qui n'y rentrent pas explicitement. On peut supposer n = 0, ce qui donne le cas représenté par
F(y) =D0-j-D^ + ...-f Dpo?P.
Le cas de l'équation
F(?/) = enx(D0 siu qx -\- Dl cos qx),
où D0 et T>1 sont des polynômes de degré p, se ramène au théorème (218) en observant que
sin qx = -. — — , cos qx = — s — .
Abaissement des équations linéaires.
