Etant donnée une équation linéaire homogène
A0?/(m) + A, ?/(m-;) + ... -f Amy = 0,
la substitution y = e-^udx conduit à une équation de l'ordre m — 1 en zz (198) ; mais cette nouvelle équation n'est pas linéaire.
Xeuberg, An. inf., II. 18
220. Théorème- — Etant donnée une équation linéaire complète de l'ordre m, si ion connaît p solutions distinctes de la même équation privée de second membre, on peut ramener réquation donnée a une équation linéaire de V ordre m — p.
Méthode de Lagrange. —Pour fixer les idées, soit l'équation
yy + ^iPÎV + A2y» + A3y" + Ay + a5?/ = x. (i)
Si Pi, y il y 3 sont trois solutions distinctes, supposées connues, de l'équation
^+A1^-j-A/' + A3/ + Ây-l-A5// = 0) (2)
celle-ci admettra la solution (203)
y=-Clyl + C,yf+'Ç,y8> (3)
où Cp C2, C3 sont des constantes arbitraires.
La formule (3; donne aussi une solution de l'équation (1), pourvu qu'on remplace C,, C2, C3 par certaines fonctions de x. Pour déterminer ces fonctions, nous pouvons leur imposer deux conditions arbitraires en dehors de celle que Cly1 -h C2}"2 4- G3y3 vérifie l'équation proposée. Nous supposerons ici que les dérivées y', 3*" aient la même expression que si Cn Ç2, C3 étaient des constantes.
Nous aurons ainsi :
y = sc^i ;
dC y'= 2Cyif en posant Iyl ^ = 0 ;
y"= SCjî/", en posant Hy\ y1 = 0 ; .,, v~ m . v 11 dCl
viv = vC vY1 + 22*/," dC± 4- Si/!' d2Cl • yv=vCiyi +3Sy, — + 3Syi r+ia,1 r.
Introduisons ces valeurs dans l'équation (1). Une partie du premier membre sera
IC.îjJ + A.IC^r + A22C#Ï' + À.SC^Ï + A4S0;y'i + A5S1<?/l, ou SCjCyi* + A^ï'1 + A2j/1" + A3yï -f À<y', + Ag^) ;
elle est nulle, parce que ylt y2, y$ vérifient l'équation (2). Il
restera
iv dCx mdzCl v itd-]C{
3Syi dcc +3Sy' da-+^d^
i a /'nv mdC1 v a d2Gl\ n dC \
+ A' [21-'n dx + Syi ^ j + A^' *î - X- W
Les quantités Cl5 C2, C3 doivent satisfaire aux équations (4) et
M , M 2 l Wt, , «G, . , CtUo , I ClKjf,
*> di + y* dà + * *? - °' y • ^ + y ■ rfof + * *f = °- (u)
Ces relations (5) donnent
^î = M dC3 dCA = ^ dC^ dx l dx ' dx 2 dxy
Mx et M2 étant des fonctions connues de x; ensuite,
efa?2 ' dx2 l dx dx1 2 cfcc* d#
^°i = M *°S 4- 2M' ^ -f M? ^ . etc.
rfC dzC Si l'on porte ces valeurs de -~ » , ■ > ••• dans l'équation (4),
on obtient une équation linéaire du troisième ordre en C3 et x, qu'on abaisse au second en posant -r— 3 = »• 221. Méthode de d'Alembert. — Soit à résoudre l'équation A0yW + k'afi*-*) -h ... + Am.y = X, (7)
dont nous désignons le premier membre par F (y). Si l'on remplace y par zyu elle devient, avec les notations du § 217,
gll ~{m)
«FUf.) + *'*,(*,) + jTg F^>) + - + 7^ F <*i) = X-
Prenons pour y, une solution particulière de l'équation incomplète F(y) = 0, et posons z' — v; l'équation précédente se change en
v' ?î(in-l)
"F^.) + r^F^.) + •• + -^rPm(yi) = x- (8)
D'après cela, si l'on connaît une solution particulière y1 de l'équation F (y) = 0, on abaisse d'une unité l'ordre de l'équation F (y) = X en posant y = y, f vdx.
Supposons ensuite que l'on connaisse deux intégrales particulières y! et y2 de l'équation F (y) =0; nous pourrons diminuer de deux unités l'ordre de l'équation (7). En effet, la
substitution y = y\ f vdx conduit à l'équation (8). Mais il est évident que si l'on pose y2 = y\ j" v^dx, c'est-à-dire
dx
vx est une solution particulière de l'équation (8) privée de son second membre. Par suite, si Ton fait v = v{ f wdx, l'équation (8) se ramène à une équation linéaire d'ordre m — 2 en w. Et ainsi de suite.
222. Application. — Soit y\ une solution particulière de l'équation
y" + Py' + Qy -= 0.
Pour trouver la solution générale, posons y = zyly d'où l'équation devient
*(y"i + P.vri + QyO + Wi + PyJ + *"yi = o.
Le coefficient de z est nul parce que y\ vérifie l'équation proposée ; par suite, si l'on fait z1 = v, on trouve
v(2y\ -f- Fyx) + v'yl = 0, ^ yi '
2^! + Je,
-fPdx.
OU
ensuite
fr =
Fdx -
yr
-JPd*
z = vdx = c, 4- c — e rfa?
J J yi
y = zyx = cxyx + cyl j -|
-A- e * ofo?.
Voici une autre méthode. Eliminons Q entre les égalités
y" + W + QiJ = 0, y\ + Vy\ + Qy l = 0 ; il vient
?/"i/i — yy"i -f- P(y'yi — yy\) = 0
ou ^-- y-y^- dœ — — Vdoc.
yvx — yy\
Le numérateur étant la dérivée du dénominateur, on a
l(y'yi — yy\) = — J Pcfo + fc,
-/Pdz.
Multiplions les deux membres de cette équation par — r et intégrons ; il vient
?/ f 1 -/Pdx
Équation particulière.
