Soit l'équation

A0 («jc + b)myim) -f- AL (aa? -f è^-i^m-i) -f- ... + Amy = 0, (1)

a, fr, A0, Ax ... étant des constantes.

1° Si l'on prend pour variable indépendante z — ax + b, on a

dy dy dz dy d2y d2y dz d2y

dx dz dx dz ' dx2 dz2 dx ' dz2 '

et l'équation (1) devient

r/m;y r/m— *?/ A /,ra*m **& i A nm— lrm-l * l i A 7, — fi

Elle est ainsi ramenée à la forme plus simple

dm)j r/111-1 il

a°xm ï^ + a^~X dx^ + • • • + «^ = 0- (2)

Posons, dans celle-ci, x = e{ ; nous aurons

dy

dy dx t dy

dx

' dt ' [dt " dt1

dzy

d f xdy\ t dx __ tJd%y dy ' dt\ dt) ' dt \dtz ' ' dt

d3y dx3

~e [dt* 6 dx*+* dt)'elC'

L'équation (2) se changera en une équation linéaire homogène d'ordre m, à coefficients constants. Soient a, b, c, ..., / les racines distinctes de l'équation caractéristique ; l'intégrale a la forme

y = Aeat -f Bebt + . . . + Le11.

ou y = A#a + B#b -j- ••• 4- La?1.

Les coefficients A, B, ..., L sont des constantes arbitraires, si l'équation caractéristique n'a pas de racine multiple. Si la racine a, par exemple, est multiple d'ordre p, on fait

A = C! 4-c^+... +cptP~l = cL 4- c2^ 4- •• 4- cp(fa?)p-1.

2° Pour intégrer l'équation (2), posons y = xx, a étant une indéterminée ; le premier membre devient

#a[a0a(a — 1) . . .(a — m + 1) + Ct , a(a — 1 ) ... (a — m -f 2) -f . . . am-l a 4" «m].

Soit cp(a) le polynôme entre crochets. Si l'équation tp(a) = 0 a m racines distinctes a,b,...,l, des intégrales particulières de (2) sont:

y = xa, y = xh, ...

,y=po\

et la solution générale est

.. 4-La;1.

Si a est p fois racine de <p(a) = 0, la forme de l'intégrale doit être modifiée. On a trouvé l'identité

dmxa . m . dm-lx°- . s

0 dxm l dxm~l ,v '

En la dérivant par rapport à a on a la nouvelle identité

dm(xHx) .dm~\xHx) , Q7 or r/ \ 1 / m i

a0x™ -A -.—J 4. a^"1-1 — j^-L i 4- • • • 4- am«7a^ = ^a[?'0) -f f(a)to] .

Donc, puisque <p'(a)=0, l'équation (2) admet la solution y = xalx. On verrait de même, si a était racine triple de <p(a)=0, qu'une solution est y — xà(lx)~. Et ainsi de suite. Donc si a est p fois racine, on prendra

A = a?8^ + C2lx -f C3lh) -f- ... -h CpZP-io?).