Application. — x2y" — 2a?y + 2y = a?2 + ^ -f g

1° La substitution x = ef donne

L'équation sans second membre a pour intégrale générale

y = Aen + Be*.

Une solution particulière de (a) est de la forme (215, 6° et 5°) :

y = afe2t + pfet + y ;

en la substituant dans l'équation (a) on trouve

U{t 4- l)eli 4- p(* 4- 2)e* — 3[a(2* 4- l)e2t + P(* 4- l)*t] 4- 2(afe2t -4- [W- 4- y) = e2t -{-pé 4- g.

Identifions les deux membres de cette égalité ; il vient

et — 1, p-.= — pf Y = |'

Donc l'intégrale cherchée

y = Ae2t 4- Bet -\- ten — pte1 4- |

= A#2 4- B# + (^2 — px)lx 4~ 0

\LV~ pUU)CX -f-

2° Intégrons d'abord l'équation

x2y" — 2xy' 4- 2y = 0. (6)

En posant y = x*, on trouve

d'où a = 1, a = 2; donc l'équation (6) a pour intégrale générale

Appliquons la méthode de Lagrange en considérant Cx et C. comme des fonctions de x. Il vient ;

a# aa? dx dx œ2 w

Ces égalités donnent

^ = 1 + ^-4.1., *i__fi .?. J?

dx x x2 x3 dx \ x x1

C, = c, 4- Ix — - — -^-r > C2 = c, — x — plx 4- - etc. 11 x 2x2 »2 l x

3° Si l'on différentie l'équation proposée, on trouve

équation qui s'intègre facilement. Il est nécessaire de vérifier la solution ainsi obtenue.

Exercices et notes.