Séries imaginaires. — Une série à termes imaginaires

(*, 4- M -f («* + M + (*8 + IV) + - (1)

est dite convergente lorsque les parties réelles des termes forment une série convergente ainsi que les coefficients do /. Si S' et S" sont les sommes des séries

S' 4- 8"z est la somme de la série (1).

Remarque. — Avant de faire usage d'une série, il importe de reconnaître si elle est ou n'est pas convergente.

(*) Trois nombres a, b, c sont dits an proportion harmonique lorsque a — b a 1 1/1 1

> OU y = - ■- H

b est appelé une moyenne harmonique entre a et c. Trois termes consécutifs quelconques de la série (1) sont en proportion harmonique.

Théorèmes suiî la convergence.

6. Théorème. — Dans toute série convergente, le terme général n pour limite zéro.

Soit d'abord une série convergente à termes réels. On a

Sn Sn— 1 ^^ tli[ '-

comme Sn et Sn— \, lorsque n croit indéfiniment, diffèrent de la somme de la série aussi peu que l'on voudra, un a pour limite 0. Soit ensuite la série convergente

Les deux séries

étant convergentes, an et ?n tendent vers zéro, et il en est de même du module de un == an - j- £Jn/,

Remarque. — La condition lim un = 0 est nécessaire, mais non suffisante, ainsi qu'on le voit par la série harmonique (3).

7. Théorème. — Etant donnée une première série convergente, à termes positifs, si les modules des termes d'une seconde série sont égaux ou inférieurs aux termes de même rang de la première série, la seconde série est également convergente.

Soit la série convergente, à termes positifs,

et soit une seconde série

satisfaisant aux conditions

v1 < ulf v, ; n.,, r3 < uzs ... .

.le dis que la série (2) est également convergente.

1° Supposons d'abord tous les termes de (2) positifs, et soil

Su <lx I U2 -f •■• + llr., S'n =Vl -\- V2 -\ ... f Va.

Su croît avec n en tendant vers une limite finie S ; S, , croît également avec;?, mais en restant inférieure àSnet par suite à S. On en conclut que S'n tend vers une limite finie (Alg., 89).

2° Supposons ensuite les termes delà série (2) réels, les uns positil's et les autres négatifs, Appelons A„ la somme des termes positifs qui entrent dans S'R, Bn la somme des autres pris en valeur absolue, de sorte <pie S'n = An — 13a. Chacune des sommes An, Bn croît avec n en l'estant inférieure à S; donc An et Bn tendent vers des limites finies et déterminées n etb. Par conséquent, S'n a pour limite a — b, et la série (2) est convergente.

3° Si la série (2) est imaginaire, on peut l'écrire ainsi (Alg. 8) :

)\ (cos01 -f- £sin61)-j-/'2(cosÔ2 -f/sin02) |- r3(cos03 |-/sinO.,) -\- .. (3) Par hypothèse,

donc, d'après le premier cas de la démonstration, la série

rx +*•„ + '-, + ... (4)

est convergente, et il en sera de môme des séries

rl cos 0X -\- ^2 COS ^2 ~H r3 C0S ^3 + •••>

)\ sin 8j -|- ?\2 sin 62 -J- rs sin 63 -f- . .,

dont les termes sont égaux ou inférieurs, en valeur absolue, à ceux de même rang de la série (4). Donc la série (3) est convergente.

Remarque. — On démontre de la même manière le théorème suivant : Si une série positive est divergente, tout autre série positive dont les ternies sont égaux ou supérieurs aux termes de même rang de la première série, est également divergente.