Si a, h, c sont des nombres positifs, la série
"hô + c"h(6-r-c)(26-r-c) ^ * • ^ (ô+CJ"..;"(ir=Tîft + c)
est convergente ou divergente suivant que a<b ou :£.
En effet, si a < b, les termes sont, à partir du troisième/respectivement moindres que ceux de la progression décroissante
car
Ma 4- c na A- c -\- n — le a-j-c
Si a > h, les termes de la série proposée sont supérieurs ou égaux à l'unité.
9. Séries absolument convergentes, séries semi-convergentes. — On appelle série absolument convergente, une série dont les modules des termes forment une série convergente. Il résulte du théorème précédent (7) que toute série dont les modules des termes sont les éléments d'une série convergente, est elle-même convergente.
On appelle série semi-convergente toute série qui est convergente sans que les modules de ses termes forment une série convergente. Par exemple, la série harmonique alternée (13)
est convergente, bien que les modules forment la série harmonique.
La somme d'une série absolument convergente ne change pas avec l'ordre des termes ; celle d'une série semi-convergente dépend de V ordre des termes Voir exercices et notes, ncs 24 et 29).
10. Théorème. — Une série réelle est convergente si, à partir d'un certain rang, le rapport d'un terme au terme précédent . pris en valeur absolue, est constamment inférieur à un nombre donné -x, moindre que l'unité. (Règle de D'Alembert.)
Observons d'abord qu'une série ne perd pas sa convergence ou sa divergence si l'on en supprime au commencement un nombre fini de termes ou si on la fait précéder d'un nombre fini de nouveaux termes ; il suffit donc qu'un caractère de convergence ou de divergence s'applique à partir d'un terme de rang quelconque.
1° Cela posé, considérons d'abord une série positive
satisfaisant aux conditions
f(n \\ . Un |2 >/n | :;
Ces inégalités donnent
uR+i < awn, wn+2 < xan+i < a2wn, wn+3 < awn+2 < a3wn, . .; donc les termes de la série
étant moindres que ceux de la progression décroissante
<xttn -f- a2itn -h a3wn -f ... ,
la série proposée est convergente (7).
Si Ton prend Sn pour somme de la série, l'erreur commise est
moindre que la somme de la progression (1) ou moindre que ' •
2° Le cas où les signes des ternies sont variés se ramène au précédent, car les modules des ternies forment une série convergente.
11. Comment on applique ce théorème. — Ordinairement la valeur absolue du rapport d'un terme au précédent converge vers une limite L, quand n croît indéfiniment. Trois cas peuvent se présenter :
1° L <^ L Soit a un nombre fixe compris entre L et 1 ; le rapport
— ayant pour limite L finira par conserver une valeur absolue moindre que a. Donc la série est convergente.
2° L > 1. A partir d'une certaine valeur de /z, — reste supé-
Hn
rieur à 1, et les modules des termes de la série vont en croissant. Le terme général n'ayant pas pour limite zéro, la série est divergente.
3° L = 1. Si le module de — finit par être toujours au-dessus
de sa limite 1, la série est divergente: car le terme général ne tend pas vers zéro. Mais si ce module croît constamment vers sa limite 1 ou oscille autour de cette limite, le théorème (10) ne permet pas de prononcer sur la convergence ou la divergence de la série; ce cas est appelé, pour cette raison, le ras douteux.
Remarque. — La règle (11) est appelée critérium de couver-
gence de Caucliy. Le théorème (10) est plus général, car "M
peut être moindre qu'un nombre » sans tendre vers une limite déterminée; tel est le eas pour la série
1 -f- x sin ce -f- x- sin o sin 2'f + xZ ^n ? siR 2'f sin 3'f |- ... ,
si x < a et que ? désigne un are incommensurable avec -. 12. Applications. — I. La série exponentielle.
1+1+ flr + -+S + - a)
est convergente pour toutes les valeurs réelles de x ; car
lim n+1 =lim-=0. Elle est encore convergente pour toutes uQ n
les valeurs imaginaires de x, puisque les modules des termes
reproduisent une série réelle de la forme (1).
